გადაწყვიტეთ {l}{-2x+y=-2}{y=-1/2x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + y = - 2 } \\ { y = - \frac { 1 } { 2 } x + 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{1}{2}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{1}{2}x=3$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-2x+y=-2,\frac{1}{2}x+y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-2x+y=-2$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=-y-2$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-y-2\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -y-2.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y}{2}+1-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{1}{2}x+y=3.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}y+1\right)+y=3$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე \frac{y}{2}+1.

$$\frac{1}{4}y+\frac{1}{2}+y=3$$

მიუმატეთ \frac{y}{4} y-ს.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}=3$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{4}y=\frac{5}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=\frac{1}{2}y+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{2}\times 2+1$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 2.

$$x=1+1$$

მიუმატეთ 1 1-ს.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{1}{2}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{1}{2}x=3$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-2x+y=-2,\frac{1}{2}x+y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\frac{1}{2}}&-\frac{1}{-2-\frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{-2-\frac{1}{2}}&-\frac{2}{-2-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-2\right)+\frac{2}{5}\times 3\\\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{4}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{1}{2}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{1}{2}x=3$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-2x+y=-2,\frac{1}{2}x+y=3$$

გამოაკელით \frac{1}{2}x+y=3 -2x+y=-2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2x-\frac{1}{2}x+y-y=-2-3$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2x-\frac{1}{2}x=-2-3$$

მიუმატეთ -2x -\frac{x}{2}-ს.

$$-\frac{5}{2}x=-2-3$$

მიუმატეთ -2 -3-ს.

$$-\frac{5}{2}x=-5$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით x აქ: \frac{1}{2}x+y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$\frac{1}{2}\times 2+y=3$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 2.

$$1+y=3$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=2$$