გადაწყვიტეთ {l}{-10x+3y=-2}{4x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x + 3 y = - 2 } \\ { 4 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=11$$

$$y=36$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-10x+3y=-2$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-10x=-3y-2$$

ორივე მხარე გაყავით -10-ზე.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-3y-2\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{10}-ზე -3y-2.

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y}{10}+\frac{1}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x-y=8.

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}\right)-y=8$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{3y}{10}+\frac{1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}-y=8$$

მიუმატეთ \frac{6y}{5} -y-ს.

$$\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}=8$$

გამოაკელით \frac{4}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{5}y=\frac{36}{5}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$y=36$$

ჩაანაცვლეთ 36-ით y აქ: x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{10}\times 36+\frac{1}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{10}-ზე 36.

$$x=\frac{54+1}{5}$$

მიუმატეთ \frac{1}{5} \frac{54}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=11$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=11,y=36$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{10}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}\times 8\\2\left(-2\right)+5\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\36\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=11,y=36$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

იმისათვის, რომ -10x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -10-ზე.

$$4\left(-10\right)x+4\times 3y=4\left(-2\right),-10\times 4x-10\left(-1\right)y=-10\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$-40x+12y=-8,-40x+10y=-80$$

გამოაკელით -40x+10y=-80 -40x+12y=-8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-40x+40x+12y-10y=-8+80$$

მიუმატეთ -40x 40x-ს. პირობები -40x და 40x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12y-10y=-8+80$$

მიუმატეთ 12y -10y-ს.

$$2y=-8+80$$

მიუმატეთ -8 80-ს.

$$2y=72$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=36$$

ჩაანაცვლეთ 36-ით y აქ: 4x-y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x-36=8$$

მიუმატეთ 36 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=44$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=11$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=11,y=36$$