გადაწყვიტეთ {l}{-(-x-y)-4(y-x)=8}{3x-1+2(y+3)-5=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - ( - x - y ) - 4 ( y - x ) = 8 } \\ { 3 x - 1 + 2 ( y + 3 ) - 5 = 20 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=4$$

$$y=4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. -x-y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -4 y-x-ზე.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

დააჯგუფეთ y და -4y, რათა მიიღოთ -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

გადაამრავლეთ -1 და -1, რათა მიიღოთ 1.

$$x-3y+4x=8$$

დააჯგუფეთ x და 4x, რათა მიიღოთ 5x.

$$5x-3y=8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y+3-ზე.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

შეკრიბეთ -1 და 6, რათა მიიღოთ 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

გამოაკელით 5 5-ს 0-ის მისაღებად.

$$3x+2y=20$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-3y=8$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=3y+8$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 3y+8.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y+8}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+2y=20.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=20$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{3y+8}{5}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}+2y=20$$

მიუმატეთ \frac{9y}{5} 2y-ს.

$$\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=20$$

გამოაკელით \frac{24}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{19}{5}y=\frac{76}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{19}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{5}\times 4+\frac{8}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{5}-ზე 4.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

მიუმატეთ \frac{8}{5} \frac{12}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. -x-y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -4 y-x-ზე.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

დააჯგუფეთ y და -4y, რათა მიიღოთ -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

გადაამრავლეთ -1 და -1, რათა მიიღოთ 1.

$$x-3y+4x=8$$

დააჯგუფეთ x და 4x, რათა მიიღოთ 5x.

$$5x-3y=8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y+3-ზე.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

შეკრიბეთ -1 და 6, რათა მიიღოთ 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

გამოაკელით 5 5-ს 0-ის მისაღებად.

$$3x+2y=20$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 20\\-\frac{3}{19}\times 8+\frac{5}{19}\times 20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=4,y=4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. -x-y-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -4 y-x-ზე.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

დააჯგუფეთ y და -4y, რათა მიიღოთ -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

გადაამრავლეთ -1 და -1, რათა მიიღოთ 1.

$$x-3y+4x=8$$

დააჯგუფეთ x და 4x, რათა მიიღოთ 5x.

$$5x-3y=8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y+3-ზე.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

შეკრიბეთ -1 და 6, რათა მიიღოთ 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

გამოაკელით 5 5-ს 0-ის მისაღებად.

$$3x+2y=20$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

იმისათვის, რომ 5x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

გაამარტივეთ.

$$15x-9y=24,15x+10y=100$$

გამოაკელით 15x+10y=100 15x-9y=24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15x-15x-9y-10y=24-100$$

მიუმატეთ 15x -15x-ს. პირობები 15x და -15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-9y-10y=24-100$$

მიუმატეთ -9y -10y-ს.

$$-19y=24-100$$

მიუმატეთ 24 -100-ს.

$$-19y=-76$$

ორივე მხარე გაყავით -19-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: 3x+2y=20. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+2\times 4=20$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$3x+8=20$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=12$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=4$$