გადაწყვიტეთ {l}{(x-2)^2-2(x-2y)=1-(3-x)(3+x)}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ^ { 2 } - 2 ( x - 2 y ) = 1 - ( 3 - x ) ( 3 + x ) } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=0$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x-2\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 x-2y-ზე.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

დააჯგუფეთ -4x და -2x, რათა მიიღოთ -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

განვიხილოთ \left(3-x\right)\left(3+x\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

გამოაკელით 9 1-ს -8-ის მისაღებად.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

გამოაკელით 4 ორივე მხარეს.

$$-6x+4y=-8-4$$

გამოაკელით 4 -8-ს -12-ის მისაღებად.

$$-6x+4y=-12$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-6x+4y=-12$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-6x=-4y-12$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-4y-12\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{6}-ზე -4y-12.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2y}{3}+2-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+y=4.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+y=4$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4+y=4$$

მიუმატეთ \frac{4y}{3} y-ს.

$$\frac{7}{3}y+4=4$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{7}{3}y=0$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{7}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=0$$

ჩაანაცვლეთ 0-ით y აქ: x=\frac{2}{3}y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=0$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x-2\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 x-2y-ზე.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

დააჯგუფეთ -4x და -2x, რათა მიიღოთ -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

განვიხილოთ \left(3-x\right)\left(3+x\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

გამოაკელით 9 1-ს -8-ის მისაღებად.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

გამოაკელით 4 ორივე მხარეს.

$$-6x+4y=-8-4$$

გამოაკელით 4 -8-ს -12-ის მისაღებად.

$$-6x+4y=-12$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-6-4\times 2}&-\frac{4}{-6-4\times 2}\\-\frac{2}{-6-4\times 2}&-\frac{6}{-6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=0$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x-2\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 x-2y-ზე.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

დააჯგუფეთ -4x და -2x, რათა მიიღოთ -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

განვიხილოთ \left(3-x\right)\left(3+x\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

გამოაკელით 9 1-ს -8-ის მისაღებად.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

გამოაკელით 4 ორივე მხარეს.

$$-6x+4y=-8-4$$

გამოაკელით 4 -8-ს -12-ის მისაღებად.

$$-6x+4y=-12$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

იმისათვის, რომ -6x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -6-ზე.

$$2\left(-6\right)x+2\times 4y=2\left(-12\right),-6\times 2x-6y=-6\times 4$$

გაამარტივეთ.

$$-12x+8y=-24,-12x-6y=-24$$

გამოაკელით -12x-6y=-24 -12x+8y=-24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-12x+12x+8y+6y=-24+24$$

მიუმატეთ -12x 12x-ს. პირობები -12x და 12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$8y+6y=-24+24$$

მიუმატეთ 8y 6y-ს.

$$14y=-24+24$$

მიუმატეთ -24 24-ს.

$$14y=0$$

ორივე მხარე გაყავით 14-ზე.

$$y=0$$

ჩაანაცვლეთ 0-ით y აქ: 2x+y=4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x=4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=0$$