გადაწყვიტეთ {l}{(a+2012)-2(b-2013)=3}{3(a+2012)+4(b-2013)=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( a + 2012 ) - 2 ( b - 2013 ) = 3 } \\ { 3 ( a + 2012 ) + 4 ( b - 2013 ) = 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a = -\frac{10049}{5} = -2009\frac{4}{5} = -2009.8$$

$$b = \frac{10063}{5} = 2012\frac{3}{5} = 2012.6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

გაამრავლეთ -2-ზე b-2013.

$$a-2b+4026+2012=3$$

მიუმატეთ 4026 2012-ს.

$$a-2b+6038=3$$

გამოაკელით 6038 განტოლების ორივე მხარეს.

$$a-2b=-6035$$

მიუმატეთ 2b განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=2b-6035$$

ჩაანაცვლეთ 2b-6035-ით a მეორე განტოლებაში, 3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5.

$$3\left(2b-6035+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

მიუმატეთ -6035 2012-ს.

$$3\left(2b-4023\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

გაამრავლეთ 3-ზე 2b-4023.

$$6b-12069+4\left(b-2013\right)=5$$

გაამრავლეთ 4-ზე b-2013.

$$6b-12069+4b-8052=5$$

მიუმატეთ 6b 4b-ს.

$$10b-12069-8052=5$$

მიუმატეთ -12069 -8052-ს.

$$10b-20121=5$$

მიუმატეთ 20121 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10b=20126$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$b=\frac{10063}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{10063}{5}-ით b აქ: a=2b-6035. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=2\times \frac{10063}{5}-6035$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{10063}{5}.

$$a=\frac{20126}{5}-6035$$

მიუმატეთ -6035 \frac{20126}{5}-ს.

$$a=-\frac{10049}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

გაამარტივეთ პირველი განტოლება, რათა გადაიყვანოთ იგი სტანდარტულ ფორმაში.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

გაამრავლეთ -2-ზე b-2013.

$$a-2b+4026+2012=3$$

მიუმატეთ 4026 2012-ს.

$$a-2b+6038=3$$

გამოაკელით 6038 განტოლების ორივე მხარეს.

$$a-2b=-6035$$

გაამრატივეთ მეორე განტოლება, რათა გადაიყვანოთ იგი სტანდარტულ ფორმაში.

$$3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

გაამრავლეთ 3-ზე a+2012.

$$3a+6036+4\left(b-2013\right)=5$$

გაამრავლეთ 4-ზე b-2013.

$$3a+6036+4b-8052=5$$

მიუმატეთ 6036 -8052-ს.

$$3a+4b-2016=5$$

მიუმატეთ 2016 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3a+4b=2021$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6035\right)+\frac{1}{5}\times 2021\\-\frac{3}{10}\left(-6035\right)+\frac{1}{10}\times 2021\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10049}{5}\\\frac{10063}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$