გადაწყვიტეთ {l}{x/6-y=-1}{3x-2y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - y = - 1 } \\ { 3 x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$\frac{1}{6}x-y=-1$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{6}x=y-1$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 6-ზე.

$$x=6\left(y-1\right)$$

გაამრავლეთ 6-ზე y-1.

$$x=6y-6$$

ჩაანაცვლეთ -6+6y-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-2y=6.

$$3\left(6y-6\right)-2y=6$$

გაამრავლეთ 3-ზე -6+6y.

$$18y-18-2y=6$$

მიუმატეთ 18y -2y-ს.

$$16y-18=6$$

მიუმატეთ 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$16y=24$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$y=\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3}{2}-ით y აქ: x=6y-6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=6\times \frac{3}{2}-6$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{3}{2}.

$$x=9-6$$

მიუმატეთ -6 9-ს.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{3}{8}\\-\frac{9}{8}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{3}{8}\times 6\\-\frac{9}{8}\left(-1\right)+\frac{1}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

იმისათვის, რომ \frac{x}{6} და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{6}-ზე.

$$3\times \frac{1}{6}x+3\left(-1\right)y=3\left(-1\right),\frac{1}{6}\times 3x+\frac{1}{6}\left(-2\right)y=\frac{1}{6}\times 6$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{1}{2}x-3y=-3,\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1$$

გამოაკელით \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1 \frac{1}{2}x-3y=-3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-3y+\frac{1}{3}y=-3-1$$

მიუმატეთ \frac{x}{2} -\frac{x}{2}-ს. პირობები \frac{x}{2} და -\frac{x}{2} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y+\frac{1}{3}y=-3-1$$

მიუმატეთ -3y \frac{y}{3}-ს.

$$-\frac{8}{3}y=-3-1$$

მიუმატეთ -3 -1-ს.

$$-\frac{8}{3}y=-4$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{8}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3}{2}-ით y აქ: 3x-2y=6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-2\times \frac{3}{2}=6$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{3}{2}.

$$3x-3=6$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$