გადაწყვიტეთ {l}{x/3-y/2=4}{x+y/12=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 4 } \\ { x + \frac { y } { 12 } = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y = -\frac{120}{19} = -6\frac{6}{19} \approx -6.315789474$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2x-3y=24$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 12-ზე.

$$12x+y=24$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-3y=24$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=3y+24$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 24+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y}{2}+12-ით x მეორე განტოლებაში, 12x+y=24.

$$12\left(\frac{3}{2}y+12\right)+y=24$$

გაამრავლეთ 12-ზე \frac{3y}{2}+12.

$$18y+144+y=24$$

მიუმატეთ 18y y-ს.

$$19y+144=24$$

გამოაკელით 144 განტოლების ორივე მხარეს.

$$19y=-120$$

ორივე მხარე გაყავით 19-ზე.

$$y=-\frac{120}{19}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{120}{19}-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y+12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{19}\right)+12$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე -\frac{120}{19} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{180}{19}+12$$

მიუმატეთ 12 -\frac{180}{19}-ს.

$$x=\frac{48}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2x-3y=24$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 12-ზე.

$$12x+y=24$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{2-\left(-3\times 12\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{6}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}\times 24+\frac{3}{38}\times 24\\-\frac{6}{19}\times 24+\frac{1}{19}\times 24\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\-\frac{120}{19}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2x-3y=24$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 12-ზე.

$$12x+y=24$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

იმისათვის, რომ 2x და 12x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 12-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$12\times 2x+12\left(-3\right)y=12\times 24,2\times 12x+2y=2\times 24$$

გაამარტივეთ.

$$24x-36y=288,24x+2y=48$$

გამოაკელით 24x+2y=48 24x-36y=288-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$24x-24x-36y-2y=288-48$$

მიუმატეთ 24x -24x-ს. პირობები 24x და -24x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-36y-2y=288-48$$

მიუმატეთ -36y -2y-ს.

$$-38y=288-48$$

მიუმატეთ 288 -48-ს.

$$-38y=240$$

ორივე მხარე გაყავით -38-ზე.

$$y=-\frac{120}{19}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{120}{19}-ით y აქ: 12x+y=24. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$12x-\frac{120}{19}=24$$

მიუმატეთ \frac{120}{19} განტოლების ორივე მხარეს.

$$12x=\frac{576}{19}$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$x=\frac{48}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$