გადაწყვიტეთ {l}{x/3+y/4=2/2-6/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538$$

$$y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 3,4,2,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

განახორციელეთ გამრავლება.

$$4x+3y=12-12$$

გამოაკელით 12 12-ს 0-ის მისაღებად.

$$4x+3y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 20-ზე, 5,2,4,10-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 2x+y-ზე.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -10 y-2-ზე.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

დააჯგუფეთ 4y და -10y, რათა მიიღოთ -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 x+y-3-ზე.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 y-x-1-ზე.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

დააჯგუფეთ 5y და -2y, რათა მიიღოთ 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

დააჯგუფეთ 5x და 2x, რათა მიიღოთ 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

შეკრიბეთ -15 და 2, რათა მიიღოთ -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

გამოაკელით 7x ორივე მხარეს.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

დააჯგუფეთ 8x და -7x, რათა მიიღოთ x.

$$x-6y+20=3y-13$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x-6y+20-3y=-13$$

დააჯგუფეთ -6y და -3y, რათა მიიღოთ -9y.

$$x-9y+20=-13$$

გამოაკელით 20 ორივე მხარეს.

$$x-9y=-13-20$$

გამოაკელით 20 -13-ს -33-ის მისაღებად.

$$x-9y=-33$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+3y=0$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-3y$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -3y.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, x-9y=-33.

$$-\frac{3}{4}y-9y=-33$$

მიუმატეთ -\frac{3y}{4} -9y-ს.

$$-\frac{39}{4}y=-33$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{39}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{44}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{44}{13}-ით y აქ: x=-\frac{3}{4}y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{4}-ზე \frac{44}{13} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{33}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 3,4,2,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

განახორციელეთ გამრავლება.

$$4x+3y=12-12$$

გამოაკელით 12 12-ს 0-ის მისაღებად.

$$4x+3y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 20-ზე, 5,2,4,10-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 2x+y-ზე.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -10 y-2-ზე.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

დააჯგუფეთ 4y და -10y, რათა მიიღოთ -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 x+y-3-ზე.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 y-x-1-ზე.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

დააჯგუფეთ 5y და -2y, რათა მიიღოთ 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

დააჯგუფეთ 5x და 2x, რათა მიიღოთ 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

შეკრიბეთ -15 და 2, რათა მიიღოთ -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

გამოაკელით 7x ორივე მხარეს.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

დააჯგუფეთ 8x და -7x, რათა მიიღოთ x.

$$x-6y+20=3y-13$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x-6y+20-3y=-13$$

დააჯგუფეთ -6y და -3y, რათა მიიღოთ -9y.

$$x-9y+20=-13$$

გამოაკელით 20 ორივე მხარეს.

$$x-9y=-13-20$$

გამოაკელით 20 -13-ს -33-ის მისაღებად.

$$x-9y=-33$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 3,4,2,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

განახორციელეთ გამრავლება.

$$4x+3y=12-12$$

გამოაკელით 12 12-ს 0-ის მისაღებად.

$$4x+3y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 20-ზე, 5,2,4,10-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 2x+y-ზე.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -10 y-2-ზე.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

დააჯგუფეთ 4y და -10y, რათა მიიღოთ -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 x+y-3-ზე.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 y-x-1-ზე.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

დააჯგუფეთ 5y და -2y, რათა მიიღოთ 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

დააჯგუფეთ 5x და 2x, რათა მიიღოთ 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

შეკრიბეთ -15 და 2, რათა მიიღოთ -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

გამოაკელით 7x ორივე მხარეს.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

დააჯგუფეთ 8x და -7x, რათა მიიღოთ x.

$$x-6y+20=3y-13$$

გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x-6y+20-3y=-13$$

დააჯგუფეთ -6y და -3y, რათა მიიღოთ -9y.

$$x-9y+20=-13$$

გამოაკელით 20 ორივე მხარეს.

$$x-9y=-13-20$$

გამოაკელით 20 -13-ს -33-ის მისაღებად.

$$x-9y=-33$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

იმისათვის, რომ 4x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)$$

გაამარტივეთ.

$$4x+3y=0,4x-36y=-132$$

გამოაკელით 4x-36y=-132 4x+3y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4x-4x+3y+36y=132$$

მიუმატეთ 4x -4x-ს. პირობები 4x და -4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3y+36y=132$$

მიუმატეთ 3y 36y-ს.

$$39y=132$$

ორივე მხარე გაყავით 39-ზე.

$$y=\frac{44}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{44}{13}-ით y აქ: x-9y=-33. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-9\times \frac{44}{13}=-33$$

გაამრავლეთ -9-ზე \frac{44}{13}.

$$x-\frac{396}{13}=-33$$

მიუმატეთ \frac{396}{13} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{33}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$