გადაწყვიტეთ {l}{x/2+y/6=11/2}{2x/5-frac{y}{3}=-frac{1}{5}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

გადაამრავლეთ 1 და 2, რათა მიიღოთ 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

შეკრიბეთ 2 და 1, რათა მიიღოთ 3.

$$3x+y=3\times 3$$

გადაამრავლეთ 3 და 3, რათა მიიღოთ 9.

$$3x+y=9$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე, 5,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\times 2x-5y=-3$$

გადაამრავლეთ 3 და 2, რათა მიიღოთ 6.

$$6x-5y=-3$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+y=9$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-y+9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -y+9.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{3}+3-ით x მეორე განტოლებაში, 6x-5y=-3.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3$$

გაამრავლეთ 6-ზე -\frac{y}{3}+3.

$$-2y+18-5y=-3$$

მიუმატეთ -2y -5y-ს.

$$-7y+18=-3$$

გამოაკელით 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7y=-21$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=-\frac{1}{3}y+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე 3.

$$x=-1+3$$

მიუმატეთ 3 -1-ს.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

გადაამრავლეთ 1 და 2, რათა მიიღოთ 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

შეკრიბეთ 2 და 1, რათა მიიღოთ 3.

$$3x+y=3\times 3$$

გადაამრავლეთ 3 და 3, რათა მიიღოთ 9.

$$3x+y=9$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე, 5,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\times 2x-5y=-3$$

გადაამრავლეთ 3 და 2, რათა მიიღოთ 6.

$$6x-5y=-3$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

გადაამრავლეთ 1 და 2, რათა მიიღოთ 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

შეკრიბეთ 2 და 1, რათა მიიღოთ 3.

$$3x+y=3\times 3$$

გადაამრავლეთ 3 და 3, რათა მიიღოთ 9.

$$3x+y=9$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე, 5,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\times 2x-5y=-3$$

გადაამრავლეთ 3 და 2, რათა მიიღოთ 6.

$$6x-5y=-3$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

იმისათვის, რომ 3x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)$$

გაამარტივეთ.

$$18x+6y=54,18x-15y=-9$$

გამოაკელით 18x-15y=-9 18x+6y=54-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$18x-18x+6y+15y=54+9$$

მიუმატეთ 18x -18x-ს. პირობები 18x და -18x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6y+15y=54+9$$

მიუმატეთ 6y 15y-ს.

$$21y=54+9$$

მიუმატეთ 54 9-ს.

$$21y=63$$

ორივე მხარე გაყავით 21-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: 6x-5y=-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x-5\times 3=-3$$

გაამრავლეთ -5-ზე 3.

$$6x-15=-3$$

მიუმატეთ 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=12$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=3$$