გადაწყვიტეთ {l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

ეტაპები ჩანაცვლების და კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 4-ზე, 4,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით my ორივე მხარეს.

$$x-my=1$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

ამოხსენით x+\left(-m\right)y=1 x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+\left(-m\right)y=1$$

გამოაკელით \left(-m\right)y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=my+1$$

ჩაანაცვლეთ my+1-ით x მეორე განტოლებაში, 2y^{2}+x^{2}=4.

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

აიყვანეთ კვადრატში my+1.

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

მიუმატეთ 2y^{2} m^{2}y^{2}-ს.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2+1m^{2}-ით a, 1\times 1\times 2m-ით b და -3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1\times 1\times 2m.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

გაამრავლეთ -8-4m^{2}-ზე -3.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

მიუმატეთ 4m^{2} 24+12m^{2}-ს.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

აიღეთ 24+16m^{2}-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2m 2\sqrt{6+4m^{2}}-ს.

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

გაყავით -2m+2\sqrt{6+4m^{2}} 4+2m^{2}-ზე.

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{6+4m^{2}} -2m-ს.

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

გაყავით -2m-2\sqrt{6+4m^{2}} 4+2m^{2}-ზე.

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

არსებობს y-ის ორი ამონახსნი: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} და -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}. ჩაანაცვლეთ \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}-ით y განტოლებაში x=my+1, რათა იპოვოთ x-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

გაამრავლეთ m-ზე \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

მიუმატეთ m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} 1-ს.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

ახლა ჩაანაცვლეთ -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}-ით y განტოლებაში x=my+1 და ამოხსენით, რათა იპოვოთ x-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

გაამრავლეთ m-ზე -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

მიუმატეთ m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) 1-ს.

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

ამოხსნა x, y-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$