გადაწყვიტეთ {l}{x+y/3-x-y/4=5}{x+y/3+x-y/4=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y } { 3 } - \frac { x - y } { 4 } = 5 } \\ { \frac { x + y } { 3 } + \frac { x - y } { 4 } = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y = \frac{17}{2} = 8\frac{1}{2} = 8.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 3,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4\left(x+y\right)-3\left(x-y\right)=60$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+y-ზე.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=60$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 x-y-ზე.

$$4x+4y-3x+3y=60$$

დააჯგუფეთ 4x და -3x, რათა მიიღოთ x.

$$x+4y+3y=60$$

დააჯგუფეთ 4y და 3y, რათა მიიღოთ 7y.

$$x+7y=60$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 3,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=12$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+y-ზე.

$$4x+4y+3\left(x-y\right)=12$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-y-ზე.

$$4x+4y+3x-3y=12$$

დააჯგუფეთ 4x და 3x, რათა მიიღოთ 7x.

$$7x+4y-3y=12$$

დააჯგუფეთ 4y და -3y, რათა მიიღოთ y.

$$7x+y=12$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+7y=60,7x+y=12$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+7y=60$$

გამოაკელით 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-7y+60$$

ჩაანაცვლეთ -7y+60-ით x მეორე განტოლებაში, 7x+y=12.

$$7\left(-7y+60\right)+y=12$$

გაამრავლეთ 7-ზე -7y+60.

$$-49y+420+y=12$$

მიუმატეთ -49y y-ს.

$$-48y+420=12$$

გამოაკელით 420 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-48y=-408$$

ორივე მხარე გაყავით -48-ზე.

$$y=\frac{17}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{17}{2}-ით y აქ: x=-7y+60. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-7\times \frac{17}{2}+60$$

გაამრავლეთ -7-ზე \frac{17}{2}.

$$x=-\frac{119}{2}+60$$

მიუმატეთ 60 -\frac{119}{2}-ს.

$$x=\frac{1}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{17}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 3,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4\left(x+y\right)-3\left(x-y\right)=60$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+y-ზე.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=60$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 x-y-ზე.

$$4x+4y-3x+3y=60$$

დააჯგუფეთ 4x და -3x, რათა მიიღოთ x.

$$x+4y+3y=60$$

დააჯგუფეთ 4y და 3y, რათა მიიღოთ 7y.

$$x+7y=60$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 3,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=12$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+y-ზე.

$$4x+4y+3\left(x-y\right)=12$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-y-ზე.

$$4x+4y+3x-3y=12$$

დააჯგუფეთ 4x და 3x, რათა მიიღოთ 7x.

$$7x+4y-3y=12$$

დააჯგუფეთ 4y და -3y, რათა მიიღოთ y.

$$7x+y=12$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+7y=60,7x+y=12$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&7\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\12\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&7\\7&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\12\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\12\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-7\times 7}&-\frac{7}{1-7\times 7}\\-\frac{7}{1-7\times 7}&\frac{1}{1-7\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{48}&\frac{7}{48}\\\frac{7}{48}&-\frac{1}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\12\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{48}\times 60+\frac{7}{48}\times 12\\\frac{7}{48}\times 60-\frac{1}{48}\times 12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{17}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 3,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4\left(x+y\right)-3\left(x-y\right)=60$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+y-ზე.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=60$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 x-y-ზე.

$$4x+4y-3x+3y=60$$

დააჯგუფეთ 4x და -3x, რათა მიიღოთ x.

$$x+4y+3y=60$$

დააჯგუფეთ 4y და 3y, რათა მიიღოთ 7y.

$$x+7y=60$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 3,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=12$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 x+y-ზე.

$$4x+4y+3\left(x-y\right)=12$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x-y-ზე.

$$4x+4y+3x-3y=12$$

დააჯგუფეთ 4x და 3x, რათა მიიღოთ 7x.

$$7x+4y-3y=12$$

დააჯგუფეთ 4y და -3y, რათა მიიღოთ y.

$$7x+y=12$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+7y=60,7x+y=12$$

იმისათვის, რომ x და 7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$7x+7\times 7y=7\times 60,7x+y=12$$

გაამარტივეთ.

$$7x+49y=420,7x+y=12$$

გამოაკელით 7x+y=12 7x+49y=420-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$7x-7x+49y-y=420-12$$

მიუმატეთ 7x -7x-ს. პირობები 7x და -7x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$49y-y=420-12$$

მიუმატეთ 49y -y-ს.

$$48y=420-12$$

მიუმატეთ 420 -12-ს.

$$48y=408$$

ორივე მხარე გაყავით 48-ზე.

$$y=\frac{17}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{17}{2}-ით y აქ: 7x+y=12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$7x+\frac{17}{2}=12$$

გამოაკელით \frac{17}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=\frac{7}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{1}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{17}{2}$$