გადაწყვიტეთ {l}{x+y/2+x-y/3=1}{2(x+y)-3x+3y=24}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y } { 2 } + \frac { x - y } { 3 } = 1 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{3}{13}\approx 0.230769231$$

$$y = \frac{63}{13} = 4\frac{11}{13} \approx 4.846153846$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=6$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+y-ზე.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=6$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-y-ზე.

$$3x+3y+2x-2y=6$$

დააჯგუფეთ 3x და 2x, რათა მიიღოთ 5x.

$$5x+3y-2y=6$$

დააჯგუფეთ 3y და -2y, რათა მიიღოთ y.

$$5x+y=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y-3x+3y=24$$

დააჯგუფეთ 2x და -3x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+2y+3y=24$$

დააჯგუფეთ 2y და 3y, რათა მიიღოთ 5y.

$$-x+5y=24$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+y=6,-x+5y=24$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+y=6$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-y+6$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -y+6.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+6}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, -x+5y=24.

$$-\left(-\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}\right)+5y=24$$

გაამრავლეთ -1-ზე \frac{-y+6}{5}.

$$\frac{1}{5}y-\frac{6}{5}+5y=24$$

მიუმატეთ \frac{y}{5} 5y-ს.

$$\frac{26}{5}y-\frac{6}{5}=24$$

მიუმატეთ \frac{6}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{26}{5}y=\frac{126}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{26}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{63}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{63}{13}-ით y აქ: x=-\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{63}{13}+\frac{6}{5}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{5}-ზე \frac{63}{13} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{63}{65}+\frac{6}{5}$$

მიუმატეთ \frac{6}{5} -\frac{63}{65}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{3}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{13},y=\frac{63}{13}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=6$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+y-ზე.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=6$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-y-ზე.

$$3x+3y+2x-2y=6$$

დააჯგუფეთ 3x და 2x, რათა მიიღოთ 5x.

$$5x+3y-2y=6$$

დააჯგუფეთ 3y და -2y, რათა მიიღოთ y.

$$5x+y=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y-3x+3y=24$$

დააჯგუფეთ 2x და -3x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+2y+3y=24$$

დააჯგუფეთ 2y და 3y, რათა მიიღოთ 5y.

$$-x+5y=24$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+y=6,-x+5y=24$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\24\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&1\\-1&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\24\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\24\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-1\right)}&-\frac{1}{5\times 5-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5\times 5-\left(-1\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\24\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}&-\frac{1}{26}\\\frac{1}{26}&\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\24\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}\times 6-\frac{1}{26}\times 24\\\frac{1}{26}\times 6+\frac{5}{26}\times 24\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\\\frac{63}{13}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{3}{13},y=\frac{63}{13}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=6$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+y-ზე.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=6$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-y-ზე.

$$3x+3y+2x-2y=6$$

დააჯგუფეთ 3x და 2x, რათა მიიღოთ 5x.

$$5x+3y-2y=6$$

დააჯგუფეთ 3y და -2y, რათა მიიღოთ y.

$$5x+y=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+y-ზე.

$$2x+2y-3x+3y=24$$

დააჯგუფეთ 2x და -3x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x+2y+3y=24$$

დააჯგუფეთ 2y და 3y, რათა მიიღოთ 5y.

$$-x+5y=24$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+y=6,-x+5y=24$$

იმისათვის, რომ 5x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$-5x-y=-6,5\left(-1\right)x+5\times 5y=5\times 24$$

გაამარტივეთ.

$$-5x-y=-6,-5x+25y=120$$

გამოაკელით -5x+25y=120 -5x-y=-6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-5x+5x-y-25y=-6-120$$

მიუმატეთ -5x 5x-ს. პირობები -5x და 5x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-y-25y=-6-120$$

მიუმატეთ -y -25y-ს.

$$-26y=-6-120$$

მიუმატეთ -6 -120-ს.

$$-26y=-126$$

ორივე მხარე გაყავით -26-ზე.

$$y=\frac{63}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{63}{13}-ით y აქ: -x+5y=24. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x+5\times \frac{63}{13}=24$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{63}{13}.

$$-x+\frac{315}{13}=24$$

გამოაკელით \frac{315}{13} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-\frac{3}{13}$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=\frac{3}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{13},y=\frac{63}{13}$$