გადაწყვიტეთ {l}{x+y+2/3-y=2}{x/2+2y/3=x-4/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=0$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$x+y+2-3y=6$$

დააჯგუფეთ y და -3y, რათა მიიღოთ -2y.

$$x-2y+2=6$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$x-2y=6-2$$

გამოაკელით 2 6-ს 4-ის მისაღებად.

$$x-2y=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

გადაამრავლეთ 2 და 2, რათა მიიღოთ 4.

$$3x+4y=6x-8$$

გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$3x+4y-6x=-8$$

დააჯგუფეთ 3x და -6x, რათა მიიღოთ -3x.

$$-3x+4y=-8$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-2y=4$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=2y+4$$

ჩაანაცვლეთ 4+2y-ით x მეორე განტოლებაში, -3x+4y=-8.

$$-3\left(2y+4\right)+4y=-8$$

გაამრავლეთ -3-ზე 4+2y.

$$-6y-12+4y=-8$$

მიუმატეთ -6y 4y-ს.

$$-2y-12=-8$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2y=4$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=2y+4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=2\left(-2\right)+4$$

გაამრავლეთ 2-ზე -2.

$$x=-4+4$$

მიუმატეთ 4 -4-ს.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$x+y+2-3y=6$$

დააჯგუფეთ y და -3y, რათა მიიღოთ -2y.

$$x-2y+2=6$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$x-2y=6-2$$

გამოაკელით 2 6-ს 4-ის მისაღებად.

$$x-2y=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

გადაამრავლეთ 2 და 2, რათა მიიღოთ 4.

$$3x+4y=6x-8$$

გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$3x+4y-6x=-8$$

დააჯგუფეთ 3x და -6x, რათა მიიღოთ -3x.

$$-3x+4y=-8$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=0,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$x+y+2-3y=6$$

დააჯგუფეთ y და -3y, რათა მიიღოთ -2y.

$$x-2y+2=6$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$x-2y=6-2$$

გამოაკელით 2 6-ს 4-ის მისაღებად.

$$x-2y=4$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

გადაამრავლეთ 2 და 2, რათა მიიღოთ 4.

$$3x+4y=6x-8$$

გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$3x+4y-6x=-8$$

დააჯგუფეთ 3x და -6x, რათა მიიღოთ -3x.

$$-3x+4y=-8$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

იმისათვის, რომ x და -3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8$$

გაამარტივეთ.

$$-3x+6y=-12,-3x+4y=-8$$

გამოაკელით -3x+4y=-8 -3x+6y=-12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-3x+3x+6y-4y=-12+8$$

მიუმატეთ -3x 3x-ს. პირობები -3x და 3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6y-4y=-12+8$$

მიუმატეთ 6y -4y-ს.

$$2y=-12+8$$

მიუმატეთ -12 8-ს.

$$2y=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: -3x+4y=-8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-3x+4\left(-2\right)=-8$$

გაამრავლეთ 4-ზე -2.

$$-3x-8=-8$$

მიუმატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=0$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=-2$$