გადაწყვიტეთ {l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -5,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე y\left(y+5\right)-ზე, y+5,y-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ y x+2-ზე.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ y+5 x+7-ზე.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

გამოაკელით yx ორივე მხარეს.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

დააჯგუფეთ yx და -yx, რათა მიიღოთ 0.

$$2y=7y+5x+35$$

გამოაკელით 7y ორივე მხარეს.

$$2y-7y=5x+35$$

დააჯგუფეთ 2y და -7y, რათა მიიღოთ -5y.

$$-5y=5x+35$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{5}-ზე 35+5x.

$$y=-x-7$$

ჩაანაცვლეთ -x-7-ით y მეორე განტოლებაში, -4y+2x=-1.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

გაამრავლეთ -4-ზე -x-7.

$$4x+28+2x=-1$$

მიუმატეთ 4x 2x-ს.

$$6x+28=-1$$

გამოაკელით 28 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-29$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=-\frac{29}{6}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{29}{6}-ით x აქ: y=-x-7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

გაამრავლეთ -1-ზე -\frac{29}{6}.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

მიუმატეთ -7 \frac{29}{6}-ს.

$$y=-\frac{13}{6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -5,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე y\left(y+5\right)-ზე, y+5,y-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ y x+2-ზე.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ y+5 x+7-ზე.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

გამოაკელით yx ორივე მხარეს.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

დააჯგუფეთ yx და -yx, რათა მიიღოთ 0.

$$2y=7y+5x+35$$

გამოაკელით 7y ორივე მხარეს.

$$2y-7y=5x+35$$

დააჯგუფეთ 2y და -7y, რათა მიიღოთ -5y.

$$-5y=5x+35$$

გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$-5y-5x=35$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი y არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -5,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე y\left(y+5\right)-ზე, y+5,y-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ y x+2-ზე.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ y+5 x+7-ზე.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

გამოაკელით yx ორივე მხარეს.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

დააჯგუფეთ yx და -yx, რათა მიიღოთ 0.

$$2y=7y+5x+35$$

გამოაკელით 7y ორივე მხარეს.

$$2y-7y=5x+35$$

დააჯგუფეთ 2y და -7y, რათა მიიღოთ -5y.

$$-5y=5x+35$$

გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$-5y-5x=35$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

იმისათვის, რომ -5y და -4y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -5-ზე.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

გაამარტივეთ.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

გამოაკელით 20y-10x=5 20y+20x=-140-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

მიუმატეთ 20y -20y-ს. პირობები 20y და -20y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$20x+10x=-140-5$$

მიუმატეთ 20x 10x-ს.

$$30x=-140-5$$

მიუმატეთ -140 -5-ს.

$$30x=-145$$

ორივე მხარე გაყავით 30-ზე.

$$x=-\frac{29}{6}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{29}{6}-ით x აქ: -4y+2x=-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{29}{6}.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

მიუმატეთ \frac{29}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$y=-\frac{13}{6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$