გადაწყვიტეთ {l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 40-ზე, 4,10,8-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გადაამრავლეთ 10 და 5, რათა მიიღოთ 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 50 x-3-ზე.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გადაამრავლეთ -4 და 3, რათა მიიღოთ -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -12 2y+1-ზე.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გამოაკელით 12 -150-ს -162-ის მისაღებად.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -7 x+y+1-ზე.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

გამოაკელით 7 4-ს -3-ის მისაღებად.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 -3-7x-7y-ზე.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

დაამატეთ 35x ორივე მხარეს.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

დააჯგუფეთ 50x და 35x, რათა მიიღოთ 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

დაამატეთ 35y ორივე მხარეს.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

დააჯგუფეთ -24y და 35y, რათა მიიღოთ 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

დაამატეთ 162 ორივე მხარეს.

$$85x+11y=-15+162$$

შეკრიბეთ -15 და 162, რათა მიიღოთ 147.

$$85x+11y=147$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 2y-7-ზე.

$$6x-10y+35=21$$

გამოაკელით 35 ორივე მხარეს.

$$6x-10y=21-35$$

გამოაკელით 35 21-ს -14-ის მისაღებად.

$$6x-10y=-14$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$85x+11y=147$$

გამოაკელით 11y განტოლების ორივე მხარეს.

$$85x=-11y+147$$

ორივე მხარე გაყავით 85-ზე.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{85}-ზე -11y+147.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-11y+147}{85}-ით x მეორე განტოლებაში, 6x-10y=-14.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{-11y+147}{85}.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

მიუმატეთ -\frac{66y}{85} -10y-ს.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

გამოაკელით \frac{882}{85} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{916}{85}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{518}{229}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{518}{229}-ით y აქ: x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

გაამრავლეთ -\frac{11}{85}-ზე \frac{518}{229} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

მიუმატეთ \frac{147}{85} -\frac{5698}{19465}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{329}{229}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 40-ზე, 4,10,8-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გადაამრავლეთ 10 და 5, რათა მიიღოთ 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 50 x-3-ზე.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გადაამრავლეთ -4 და 3, რათა მიიღოთ -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -12 2y+1-ზე.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გამოაკელით 12 -150-ს -162-ის მისაღებად.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -7 x+y+1-ზე.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

გამოაკელით 7 4-ს -3-ის მისაღებად.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 -3-7x-7y-ზე.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

დაამატეთ 35x ორივე მხარეს.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

დააჯგუფეთ 50x და 35x, რათა მიიღოთ 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

დაამატეთ 35y ორივე მხარეს.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

დააჯგუფეთ -24y და 35y, რათა მიიღოთ 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

დაამატეთ 162 ორივე მხარეს.

$$85x+11y=-15+162$$

შეკრიბეთ -15 და 162, რათა მიიღოთ 147.

$$85x+11y=147$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 2y-7-ზე.

$$6x-10y+35=21$$

გამოაკელით 35 ორივე მხარეს.

$$6x-10y=21-35$$

გამოაკელით 35 21-ს -14-ის მისაღებად.

$$6x-10y=-14$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 40-ზე, 4,10,8-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გადაამრავლეთ 10 და 5, რათა მიიღოთ 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 50 x-3-ზე.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გადაამრავლეთ -4 და 3, რათა მიიღოთ -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -12 2y+1-ზე.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გამოაკელით 12 -150-ს -162-ის მისაღებად.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -7 x+y+1-ზე.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

გამოაკელით 7 4-ს -3-ის მისაღებად.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 -3-7x-7y-ზე.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

დაამატეთ 35x ორივე მხარეს.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

დააჯგუფეთ 50x და 35x, რათა მიიღოთ 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

დაამატეთ 35y ორივე მხარეს.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

დააჯგუფეთ -24y და 35y, რათა მიიღოთ 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

დაამატეთ 162 ორივე მხარეს.

$$85x+11y=-15+162$$

შეკრიბეთ -15 და 162, რათა მიიღოთ 147.

$$85x+11y=147$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 2y-7-ზე.

$$6x-10y+35=21$$

გამოაკელით 35 ორივე მხარეს.

$$6x-10y=21-35$$

გამოაკელით 35 21-ს -14-ის მისაღებად.

$$6x-10y=-14$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

იმისათვის, რომ 85x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 85-ზე.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

გაამარტივეთ.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

გამოაკელით 510x-850y=-1190 510x+66y=882-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

მიუმატეთ 510x -510x-ს. პირობები 510x და -510x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$66y+850y=882+1190$$

მიუმატეთ 66y 850y-ს.

$$916y=882+1190$$

მიუმატეთ 882 1190-ს.

$$916y=2072$$

ორივე მხარე გაყავით 916-ზე.

$$y=\frac{518}{229}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{518}{229}-ით y აქ: 6x-10y=-14. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

გაამრავლეთ -10-ზე \frac{518}{229}.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

მიუმატეთ \frac{5180}{229} განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{329}{229}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$