გადაწყვიტეთ {l}{5/4x+7/5y=63}{3/4x=3/3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 } { 4 } x + \frac { 7 } { 5 } y = 63 } \\ { \frac { 3 } { 4 } x = \frac { 3 } { 3 } y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{630}{23} = 27\frac{9}{23} \approx 27.391304348$$

$$y = \frac{945}{46} = 20\frac{25}{46} \approx 20.543478261$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაყავით 3 3-ზე 1-ის მისაღებად.

$$\frac{3}{4}x=1y$$

გამოაკელით 1y ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{4}x-y=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$\frac{5}{4}x+\frac{7}{5}y=63,\frac{3}{4}x-y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$\frac{5}{4}x+\frac{7}{5}y=63$$

გამოაკელით \frac{7y}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{4}x=-\frac{7}{5}y+63$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{4}{5}\left(-\frac{7}{5}y+63\right)$$

გაამრავლეთ \frac{4}{5}-ზე -\frac{7y}{5}+63.

$$x=-\frac{28}{25}y+\frac{252}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{28y}{25}+\frac{252}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{3}{4}x-y=0.

$$\frac{3}{4}\left(-\frac{28}{25}y+\frac{252}{5}\right)-y=0$$

გაამრავლეთ \frac{3}{4}-ზე -\frac{28y}{25}+\frac{252}{5}.

$$-\frac{21}{25}y+\frac{189}{5}-y=0$$

მიუმატეთ -\frac{21y}{25} -y-ს.

$$-\frac{46}{25}y+\frac{189}{5}=0$$

გამოაკელით \frac{189}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{46}{25}y=-\frac{189}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{46}{25}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{945}{46}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{945}{46}-ით y აქ: x=-\frac{28}{25}y+\frac{252}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{28}{25}\times \frac{945}{46}+\frac{252}{5}$$

გაამრავლეთ -\frac{28}{25}-ზე \frac{945}{46} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{2646}{115}+\frac{252}{5}$$

მიუმატეთ \frac{252}{5} -\frac{2646}{115}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{630}{23}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{630}{23},y=\frac{945}{46}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაყავით 3 3-ზე 1-ის მისაღებად.

$$\frac{3}{4}x=1y$$

გამოაკელით 1y ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{4}x-y=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$\frac{5}{4}x+\frac{7}{5}y=63,\frac{3}{4}x-y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&\frac{7}{5}\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{\frac{5}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{5}\times \frac{3}{4}}&-\frac{\frac{7}{5}}{\frac{5}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{5}\times \frac{3}{4}}\\-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{5}\times \frac{3}{4}}&\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{5}\times \frac{3}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{23}&\frac{14}{23}\\\frac{15}{46}&-\frac{25}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{23}\times 63\\\frac{15}{46}\times 63\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{630}{23}\\\frac{945}{46}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{630}{23},y=\frac{945}{46}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაყავით 3 3-ზე 1-ის მისაღებად.

$$\frac{3}{4}x=1y$$

გამოაკელით 1y ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{4}x-y=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$\frac{5}{4}x+\frac{7}{5}y=63,\frac{3}{4}x-y=0$$

იმისათვის, რომ \frac{5x}{4} და \frac{3x}{4} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{3}{4}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{5}{4}-ზე.

$$\frac{3}{4}\times \frac{5}{4}x+\frac{3}{4}\times \frac{7}{5}y=\frac{3}{4}\times 63,\frac{5}{4}\times \frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\left(-1\right)y=0$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{15}{16}x+\frac{21}{20}y=\frac{189}{4},\frac{15}{16}x-\frac{5}{4}y=0$$

გამოაკელით \frac{15}{16}x-\frac{5}{4}y=0 \frac{15}{16}x+\frac{21}{20}y=\frac{189}{4}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{15}{16}x-\frac{15}{16}x+\frac{21}{20}y+\frac{5}{4}y=\frac{189}{4}$$

მიუმატეთ \frac{15x}{16} -\frac{15x}{16}-ს. პირობები \frac{15x}{16} და -\frac{15x}{16} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{21}{20}y+\frac{5}{4}y=\frac{189}{4}$$

მიუმატეთ \frac{21y}{20} \frac{5y}{4}-ს.

$$\frac{23}{10}y=\frac{189}{4}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{23}{10}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{945}{46}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{945}{46}-ით y აქ: \frac{3}{4}x-y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\frac{3}{4}x-\frac{945}{46}=0$$

მიუმატეთ \frac{945}{46} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{4}x=\frac{945}{46}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{3}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{630}{23}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{630}{23},y=\frac{945}{46}$$