\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 7 } { 4 } - \frac { 2 y + 1 } { 6 } = 0 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } - \frac { 5 y + 4 } { 3 } = - 2 } \end{array} \right.
ამოხსნა x, y-ისთვის
x=3
y=1
დიაგრამა
გაზიარება
კოპირებულია ბუფერში
3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0
განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 4,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.
9x-21-2\left(2y+1\right)=0
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x-7-ზე.
9x-21-4y-2=0
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 2y+1-ზე.
9x-23-4y=0
გამოაკელით 2 -21-ს -23-ის მისაღებად.
9x-4y=23
დაამატეთ 23 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.
3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30
განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე, 5,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.
3x+6-5\left(5y+4\right)=-30
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+2-ზე.
3x+6-25y-20=-30
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 5y+4-ზე.
3x-14-25y=-30
გამოაკელით 20 6-ს -14-ის მისაღებად.
3x-25y=-30+14
დაამატეთ 14 ორივე მხარეს.
3x-25y=-16
შეკრიბეთ -30 და 14, რათა მიიღოთ -16.
9x-4y=23,3x-25y=-16
განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.
9x-4y=23
აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.
9x=4y+23
მიუმატეთ 4y განტოლების ორივე მხარეს.
x=\frac{1}{9}\left(4y+23\right)
ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.
x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}
გაამრავლეთ \frac{1}{9}-ზე 4y+23.
3\left(\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}\right)-25y=-16
ჩაანაცვლეთ \frac{4y+23}{9}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-25y=-16.
\frac{4}{3}y+\frac{23}{3}-25y=-16
გაამრავლეთ 3-ზე \frac{4y+23}{9}.
-\frac{71}{3}y+\frac{23}{3}=-16
მიუმატეთ \frac{4y}{3} -25y-ს.
-\frac{71}{3}y=-\frac{71}{3}
გამოაკელით \frac{23}{3} განტოლების ორივე მხარეს.
y=1
განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{71}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.
x=\frac{4+23}{9}
ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.
x=3
მიუმატეთ \frac{23}{9} \frac{4}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.
x=3,y=1
სისტემა ახლა ამოხსნილია.
3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0
განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 4,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.
9x-21-2\left(2y+1\right)=0
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x-7-ზე.
9x-21-4y-2=0
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 2y+1-ზე.
9x-23-4y=0
გამოაკელით 2 -21-ს -23-ის მისაღებად.
9x-4y=23
დაამატეთ 23 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.
3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30
განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე, 5,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.
3x+6-5\left(5y+4\right)=-30
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+2-ზე.
3x+6-25y-20=-30
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 5y+4-ზე.
3x-14-25y=-30
გამოაკელით 20 6-ს -14-ის მისაღებად.
3x-25y=-30+14
დაამატეთ 14 ორივე მხარეს.
3x-25y=-16
შეკრიბეთ -30 და 14, რათა მიიღოთ -16.
9x-4y=23,3x-25y=-16
გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.
\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.
inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{9}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}&-\frac{4}{213}\\\frac{1}{71}&-\frac{3}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}\times 23-\frac{4}{213}\left(-16\right)\\\frac{1}{71}\times 23-\frac{3}{71}\left(-16\right)\end{matrix}\right)
გადაამრავლეთ მატრიცები.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.
x=3,y=1
ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.
3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0
განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 4,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.
9x-21-2\left(2y+1\right)=0
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x-7-ზე.
9x-21-4y-2=0
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 2y+1-ზე.
9x-23-4y=0
გამოაკელით 2 -21-ს -23-ის მისაღებად.
9x-4y=23
დაამატეთ 23 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.
3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30
განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე, 5,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.
3x+6-5\left(5y+4\right)=-30
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+2-ზე.
3x+6-25y-20=-30
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 5y+4-ზე.
3x-14-25y=-30
გამოაკელით 20 6-ს -14-ის მისაღებად.
3x-25y=-30+14
დაამატეთ 14 ორივე მხარეს.
3x-25y=-16
შეკრიბეთ -30 და 14, რათა მიიღოთ -16.
9x-4y=23,3x-25y=-16
გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.
3\times 9x+3\left(-4\right)y=3\times 23,9\times 3x+9\left(-25\right)y=9\left(-16\right)
იმისათვის, რომ 9x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე.
27x-12y=69,27x-225y=-144
გაამარტივეთ.
27x-27x-12y+225y=69+144
გამოაკელით 27x-225y=-144 27x-12y=69-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.
-12y+225y=69+144
მიუმატეთ 27x -27x-ს. პირობები 27x და -27x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.
213y=69+144
მიუმატეთ -12y 225y-ს.
213y=213
მიუმატეთ 69 144-ს.
y=1
ორივე მხარე გაყავით 213-ზე.
3x-25=-16
ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: 3x-25y=-16. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.
3x=9
მიუმატეთ 25 განტოლების ორივე მხარეს.
x=3
ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.
x=3,y=1
სისტემა ახლა ამოხსნილია.
მაგალითები
კვადრატული განტოლება
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
ტრიგონომეტრია
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
ხაზოვანი განტოლება
y = 3x + 4
არითმეტიკა
699 * 533
მატრიცა
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
სინქრონული განტოლება
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
დიფერენცირება
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
ინტეგრაცია
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
ლიმიტები
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}