გადაწყვიტეთ {l}{3x-7/4-2y+1/6=0}{x+2/5-5y+4/3=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 7 } { 4 } - \frac { 2 y + 1 } { 6 } = 0 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } - \frac { 5 y + 4 } { 3 } = - 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 4,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x-7-ზე.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 2y+1-ზე.

$$9x-21-4y-2=0$$

გამოაკელით 2 -21-ს -23-ის მისაღებად.

$$9x-23-4y=0$$

დაამატეთ 23 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$9x-4y=23$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე, 5,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+2-ზე.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 5y+4-ზე.

$$3x+6-25y-20=-30$$

გამოაკელით 20 6-ს -14-ის მისაღებად.

$$3x-14-25y=-30$$

დაამატეთ 14 ორივე მხარეს.

$$3x-25y=-30+14$$

შეკრიბეთ -30 და 14, რათა მიიღოთ -16.

$$3x-25y=-16$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$9x-4y=23$$

მიუმატეთ 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x=4y+23$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+23\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{9}-ზე 4y+23.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4y+23}{9}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-25y=-16.

$$3\left(\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}\right)-25y=-16$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{4y+23}{9}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{23}{3}-25y=-16$$

მიუმატეთ \frac{4y}{3} -25y-ს.

$$-\frac{71}{3}y+\frac{23}{3}=-16$$

გამოაკელით \frac{23}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{71}{3}y=-\frac{71}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{71}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{4+23}{9}$$

მიუმატეთ \frac{23}{9} \frac{4}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 4,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x-7-ზე.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 2y+1-ზე.

$$9x-21-4y-2=0$$

გამოაკელით 2 -21-ს -23-ის მისაღებად.

$$9x-23-4y=0$$

დაამატეთ 23 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$9x-4y=23$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე, 5,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+2-ზე.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 5y+4-ზე.

$$3x+6-25y-20=-30$$

გამოაკელით 20 6-ს -14-ის მისაღებად.

$$3x-14-25y=-30$$

დაამატეთ 14 ორივე მხარეს.

$$3x-25y=-30+14$$

შეკრიბეთ -30 და 14, რათა მიიღოთ -16.

$$3x-25y=-16$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{9}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}&-\frac{4}{213}\\\frac{1}{71}&-\frac{3}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}\times 23-\frac{4}{213}\left(-16\right)\\\frac{1}{71}\times 23-\frac{3}{71}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 4,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x-7-ზე.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 2y+1-ზე.

$$9x-21-4y-2=0$$

გამოაკელით 2 -21-ს -23-ის მისაღებად.

$$9x-23-4y=0$$

დაამატეთ 23 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$9x-4y=23$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე, 5,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+2-ზე.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 5y+4-ზე.

$$3x+6-25y-20=-30$$

გამოაკელით 20 6-ს -14-ის მისაღებად.

$$3x-14-25y=-30$$

დაამატეთ 14 ორივე მხარეს.

$$3x-25y=-30+14$$

შეკრიბეთ -30 და 14, რათა მიიღოთ -16.

$$3x-25y=-16$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

იმისათვის, რომ 9x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე.

$$3\times 9x+3\left(-4\right)y=3\times 23,9\times 3x+9\left(-25\right)y=9\left(-16\right)$$

გაამარტივეთ.

$$27x-12y=69,27x-225y=-144$$

გამოაკელით 27x-225y=-144 27x-12y=69-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$27x-27x-12y+225y=69+144$$

მიუმატეთ 27x -27x-ს. პირობები 27x და -27x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-12y+225y=69+144$$

მიუმატეთ -12y 225y-ს.

$$213y=69+144$$

მიუმატეთ 69 144-ს.

$$213y=213$$

ორივე მხარე გაყავით 213-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: 3x-25y=-16. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-25=-16$$

მიუმატეთ 25 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=1$$