\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 1 } { 2 } - \frac { 4 y - 7 } { 3 } = 2 } \\ { \frac { 3 y - 6 } { 4 } - \frac { 5 - x } { 6 } = - 1 \frac { 5 } { 12 } } \end{array} \right.
ამოხსნა x, y-ისთვის
x=1
y=1
დიაგრამა
გაზიარება
კოპირებულია ბუფერში
3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12
განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.
9x-3-2\left(4y-7\right)=12
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x-1-ზე.
9x-3-8y+14=12
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 4y-7-ზე.
9x+11-8y=12
შეკრიბეთ -3 და 14, რათა მიიღოთ 11.
9x-8y=12-11
გამოაკელით 11 ორივე მხარეს.
9x-8y=1
გამოაკელით 11 12-ს 1-ის მისაღებად.
3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 4,6,12-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.
9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3y-6-ზე.
9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 5-x-ზე.
9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)
გამოაკელით 10 -18-ს -28-ის მისაღებად.
9y-28+2x=-\left(12+5\right)
გადაამრავლეთ 1 და 12, რათა მიიღოთ 12.
9y-28+2x=-17
შეკრიბეთ 12 და 5, რათა მიიღოთ 17.
9y+2x=-17+28
დაამატეთ 28 ორივე მხარეს.
9y+2x=11
შეკრიბეთ -17 და 28, რათა მიიღოთ 11.
9x-8y=1,2x+9y=11
განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.
9x-8y=1
აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.
9x=8y+1
მიუმატეთ 8y განტოლების ორივე მხარეს.
x=\frac{1}{9}\left(8y+1\right)
ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.
x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}
გაამრავლეთ \frac{1}{9}-ზე 8y+1.
2\left(\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)+9y=11
ჩაანაცვლეთ \frac{8y+1}{9}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+9y=11.
\frac{16}{9}y+\frac{2}{9}+9y=11
გაამრავლეთ 2-ზე \frac{8y+1}{9}.
\frac{97}{9}y+\frac{2}{9}=11
მიუმატეთ \frac{16y}{9} 9y-ს.
\frac{97}{9}y=\frac{97}{9}
გამოაკელით \frac{2}{9} განტოლების ორივე მხარეს.
y=1
განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{97}{9}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.
x=\frac{8+1}{9}
ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.
x=1
მიუმატეთ \frac{1}{9} \frac{8}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.
x=1,y=1
სისტემა ახლა ამოხსნილია.
3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12
განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.
9x-3-2\left(4y-7\right)=12
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x-1-ზე.
9x-3-8y+14=12
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 4y-7-ზე.
9x+11-8y=12
შეკრიბეთ -3 და 14, რათა მიიღოთ 11.
9x-8y=12-11
გამოაკელით 11 ორივე მხარეს.
9x-8y=1
გამოაკელით 11 12-ს 1-ის მისაღებად.
3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 4,6,12-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.
9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3y-6-ზე.
9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 5-x-ზე.
9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)
გამოაკელით 10 -18-ს -28-ის მისაღებად.
9y-28+2x=-\left(12+5\right)
გადაამრავლეთ 1 და 12, რათა მიიღოთ 12.
9y-28+2x=-17
შეკრიბეთ 12 და 5, რათა მიიღოთ 17.
9y+2x=-17+28
დაამატეთ 28 ორივე მხარეს.
9y+2x=11
შეკრიბეთ -17 და 28, რათა მიიღოთ 11.
9x-8y=1,2x+9y=11
გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.
\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.
inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}&\frac{8}{97}\\-\frac{2}{97}&\frac{9}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}+\frac{8}{97}\times 11\\-\frac{2}{97}+\frac{9}{97}\times 11\end{matrix}\right)
გადაამრავლეთ მატრიცები.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)
შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.
x=1,y=1
ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.
3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12
განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.
9x-3-2\left(4y-7\right)=12
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x-1-ზე.
9x-3-8y+14=12
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 4y-7-ზე.
9x+11-8y=12
შეკრიბეთ -3 და 14, რათა მიიღოთ 11.
9x-8y=12-11
გამოაკელით 11 ორივე მხარეს.
9x-8y=1
გამოაკელით 11 12-ს 1-ის მისაღებად.
3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 4,6,12-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.
9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3y-6-ზე.
9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)
გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 5-x-ზე.
9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)
გამოაკელით 10 -18-ს -28-ის მისაღებად.
9y-28+2x=-\left(12+5\right)
გადაამრავლეთ 1 და 12, რათა მიიღოთ 12.
9y-28+2x=-17
შეკრიბეთ 12 და 5, რათა მიიღოთ 17.
9y+2x=-17+28
დაამატეთ 28 ორივე მხარეს.
9y+2x=11
შეკრიბეთ -17 და 28, რათა მიიღოთ 11.
9x-8y=1,2x+9y=11
გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.
2\times 9x+2\left(-8\right)y=2,9\times 2x+9\times 9y=9\times 11
იმისათვის, რომ 9x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე.
18x-16y=2,18x+81y=99
გაამარტივეთ.
18x-18x-16y-81y=2-99
გამოაკელით 18x+81y=99 18x-16y=2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.
-16y-81y=2-99
მიუმატეთ 18x -18x-ს. პირობები 18x და -18x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.
-97y=2-99
მიუმატეთ -16y -81y-ს.
-97y=-97
მიუმატეთ 2 -99-ს.
y=1
ორივე მხარე გაყავით -97-ზე.
2x+9=11
ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: 2x+9y=11. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.
2x=2
გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.
x=1
ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.
x=1,y=1
სისტემა ახლა ამოხსნილია.
მაგალითები
კვადრატული განტოლება
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
ტრიგონომეტრია
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
ხაზოვანი განტოლება
y = 3x + 4
არითმეტიკა
699 * 533
მატრიცა
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
სინქრონული განტოლება
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
დიფერენცირება
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
ინტეგრაცია
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
ლიმიტები
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}