გადაწყვიტეთ {l}{3x+5y/6=-5}{2(x+7)+3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x + 5 y } { 6 } = - 5 } \\ { 2 ( x + 7 ) + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-5$$

$$y=-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაამრავლეთ 6-ზე.

$$3x+5y=-5\times 6$$

გადაამრავლეთ -5 და 6, რათა მიიღოთ -30.

$$3x+5y=-30$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+7-ზე.

$$2x+14+3y=-5$$

გამოაკელით 14 ორივე მხარეს.

$$2x+3y=-5-14$$

გამოაკელით 14 -5-ს -19-ის მისაღებად.

$$2x+3y=-19$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+5y=-30$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-5y-30$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-30\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -5y-30.

$$x=-\frac{5}{3}y-10$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5y}{3}-10-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+3y=-19.

$$2\left(-\frac{5}{3}y-10\right)+3y=-19$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{5y}{3}-10.

$$-\frac{10}{3}y-20+3y=-19$$

მიუმატეთ -\frac{10y}{3} 3y-ს.

$$-\frac{1}{3}y-20=-19$$

მიუმატეთ 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{3}y=1$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -3-ზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: x=-\frac{5}{3}y-10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-10$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{3}-ზე -3.

$$x=5-10$$

მიუმატეთ -10 5-ს.

$$x=-5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-5,y=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაამრავლეთ 6-ზე.

$$3x+5y=-5\times 6$$

გადაამრავლეთ -5 და 6, რათა მიიღოთ -30.

$$3x+5y=-30$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+7-ზე.

$$2x+14+3y=-5$$

გამოაკელით 14 ორივე მხარეს.

$$2x+3y=-5-14$$

გამოაკელით 14 -5-ს -19-ის მისაღებად.

$$2x+3y=-19$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-30\right)+5\left(-19\right)\\2\left(-30\right)-3\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-5,y=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაამრავლეთ 6-ზე.

$$3x+5y=-5\times 6$$

გადაამრავლეთ -5 და 6, რათა მიიღოთ -30.

$$3x+5y=-30$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+7-ზე.

$$2x+14+3y=-5$$

გამოაკელით 14 ორივე მხარეს.

$$2x+3y=-5-14$$

გამოაკელით 14 -5-ს -19-ის მისაღებად.

$$2x+3y=-19$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

იმისათვის, რომ 3x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\left(-30\right),3\times 2x+3\times 3y=3\left(-19\right)$$

გაამარტივეთ.

$$6x+10y=-60,6x+9y=-57$$

გამოაკელით 6x+9y=-57 6x+10y=-60-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+10y-9y=-60+57$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$10y-9y=-60+57$$

მიუმატეთ 10y -9y-ს.

$$y=-60+57$$

მიუმატეთ -60 57-ს.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: 2x+3y=-19. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+3\left(-3\right)=-19$$

გაამრავლეთ 3-ზე -3.

$$2x-9=-19$$

მიუმატეთ 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=-5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-5,y=-3$$