გადაწყვიტეთ {l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$2x-5+3y-4=-1$$

გამოაკელით 4 -5-ს -9-ის მისაღებად.

$$2x-9+3y=-1$$

დაამატეთ 9 ორივე მხარეს.

$$2x+3y=-1+9$$

შეკრიბეთ -1 და 9, რათა მიიღოთ 8.

$$2x+3y=8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=5$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+3y=8$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-3y+8$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{2}+4-ით x მეორე განტოლებაში, -x+y=5.

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

გაამრავლეთ -1-ზე -\frac{3y}{2}+4.

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

მიუმატეთ \frac{3y}{2} y-ს.

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{2}y=9$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{18}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{18}{5}-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y+4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე \frac{18}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

მიუმატეთ 4 -\frac{27}{5}-ს.

$$x=-\frac{7}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$2x-5+3y-4=-1$$

გამოაკელით 4 -5-ს -9-ის მისაღებად.

$$2x-9+3y=-1$$

დაამატეთ 9 ორივე მხარეს.

$$2x+3y=-1+9$$

შეკრიბეთ -1 და 9, რათა მიიღოთ 8.

$$2x+3y=8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=5$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$2x-5+3y-4=-1$$

გამოაკელით 4 -5-ს -9-ის მისაღებად.

$$2x-9+3y=-1$$

დაამატეთ 9 ორივე მხარეს.

$$2x+3y=-1+9$$

შეკრიბეთ -1 და 9, რათა მიიღოთ 8.

$$2x+3y=8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=5$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

იმისათვის, რომ 2x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

გაამარტივეთ.

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

გამოაკელით -2x+2y=10 -2x-3y=-8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

მიუმატეთ -2x 2x-ს. პირობები -2x და 2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-2y=-8-10$$

მიუმატეთ -3y -2y-ს.

$$-5y=-8-10$$

მიუმატეთ -8 -10-ს.

$$-5y=-18$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$y=\frac{18}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{18}{5}-ით y აქ: -x+y=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

გამოაკელით \frac{18}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=\frac{7}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-\frac{7}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$