გადაწყვიტეთ {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$2x+7y+3y=0$$

დააჯგუფეთ 7y და 3y, რათა მიიღოთ 10y.

$$2x+10y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2x+5y-1=4-2x$$

დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$2x+5y-1+2x=4$$

დააჯგუფეთ 2x და 2x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x+5y-1=4$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს.

$$4x+5y=4+1$$

შეკრიბეთ 4 და 1, რათა მიიღოთ 5.

$$4x+5y=5$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+10y=0$$

გამოაკელით 10y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-10y$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -10y.

$$x=-5y$$

ჩაანაცვლეთ -5y-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+5y=5.

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

გაამრავლეთ 4-ზე -5y.

$$-20y+5y=5$$

მიუმატეთ -20y 5y-ს.

$$-15y=5$$

ორივე მხარე გაყავით -15-ზე.

$$y=-\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{3}-ით y აქ: x=-5y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

გაამრავლეთ -5-ზე -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$2x+7y+3y=0$$

დააჯგუფეთ 7y და 3y, რათა მიიღოთ 10y.

$$2x+10y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2x+5y-1=4-2x$$

დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$2x+5y-1+2x=4$$

დააჯგუფეთ 2x და 2x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x+5y-1=4$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს.

$$4x+5y=4+1$$

შეკრიბეთ 4 და 1, რათა მიიღოთ 5.

$$4x+5y=5$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$2x+7y+3y=0$$

დააჯგუფეთ 7y და 3y, რათა მიიღოთ 10y.

$$2x+10y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2x+5y-1=4-2x$$

დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$2x+5y-1+2x=4$$

დააჯგუფეთ 2x და 2x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x+5y-1=4$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს.

$$4x+5y=4+1$$

შეკრიბეთ 4 და 1, რათა მიიღოთ 5.

$$4x+5y=5$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

იმისათვის, რომ 2x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

გაამარტივეთ.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

გამოაკელით 8x+10y=10 8x+40y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$40y-10y=-10$$

მიუმატეთ 40y -10y-ს.

$$30y=-10$$

ორივე მხარე გაყავით 30-ზე.

$$y=-\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{3}-ით y აქ: 4x+5y=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

გაამრავლეთ 5-ზე -\frac{1}{3}.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{20}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{5}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$