გადაწყვიტეთ {l}{2/3x+1/2y=5}{x-3y=6.}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 5 } \\ { x - 3 y = 6 . } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{36}{5} = 7\frac{1}{5} = 7.2$$

$$y=\frac{2}{5}=0.4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5$$

გამოაკელით \frac{y}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{1}{2}y+5$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{2}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2}y+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე -\frac{y}{2}+5.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{4}+\frac{15}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, x-3y=6.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}-3y=6$$

მიუმატეთ -\frac{3y}{4} -3y-ს.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}=6$$

გამოაკელით \frac{15}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{15}{4}y=-\frac{3}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{15}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{2}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2}{5}-ით y აქ: x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}+\frac{15}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{4}-ზე \frac{2}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{3}{10}+\frac{15}{2}$$

მიუმატეთ \frac{15}{2} -\frac{3}{10}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{36}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 6\\\frac{2}{5}\times 5-\frac{4}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{5}\\\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

იმისათვის, რომ \frac{2x}{3} და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{2}{3}-ზე.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\left(-3\right)y=\frac{2}{3}\times 6$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,\frac{2}{3}x-2y=4$$

გამოაკელით \frac{2}{3}x-2y=4 \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y+2y=5-4$$

მიუმატეთ \frac{2x}{3} -\frac{2x}{3}-ს. პირობები \frac{2x}{3} და -\frac{2x}{3} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{1}{2}y+2y=5-4$$

მიუმატეთ \frac{y}{2} 2y-ს.

$$\frac{5}{2}y=5-4$$

მიუმატეთ 5 -4-ს.

$$\frac{5}{2}y=1$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{2}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2}{5}-ით y აქ: x-3y=6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-3\times \frac{2}{5}=6$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{2}{5}.

$$x-\frac{6}{5}=6$$

მიუმატეთ \frac{6}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{36}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$