გადაწყვიტეთ {c}{x-4y=-13}{6x+4y=6}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x - 4 y = - 13 } \\ { 6 x + 4 y = 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-4y=-13,6x+4y=6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-4y=-13$$

მიუმატეთ 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=4y-13$$

ჩაანაცვლეთ 4y-13-ით x მეორე განტოლებაში, 6x+4y=6.

$$6\left(4y-13\right)+4y=6$$

გაამრავლეთ 6-ზე 4y-13.

$$24y-78+4y=6$$

მიუმატეთ 24y 4y-ს.

$$28y-78=6$$

მიუმატეთ 78 განტოლების ორივე მხარეს.

$$28y=84$$

ორივე მხარე გაყავით 28-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=4y-13. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=4\times 3-13$$

გაამრავლეთ 4-ზე 3.

$$x=12-13$$

მიუმატეთ -13 12-ს.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-4y=-13,6x+4y=6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{4-\left(-4\times 6\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&\frac{1}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-13\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{3}{14}\left(-13\right)+\frac{1}{28}\times 6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-4y=-13,6x+4y=6$$

იმისათვის, რომ x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$6x+6\left(-4\right)y=6\left(-13\right),6x+4y=6$$

გაამარტივეთ.

$$6x-24y=-78,6x+4y=6$$

გამოაკელით 6x+4y=6 6x-24y=-78-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x-24y-4y=-78-6$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-24y-4y=-78-6$$

მიუმატეთ -24y -4y-ს.

$$-28y=-78-6$$

მიუმატეთ -78 -6-ს.

$$-28y=-84$$

ორივე მხარე გაყავით -28-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: 6x+4y=6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x+4\times 3=6$$

გაამრავლეთ 4-ზე 3.

$$6x+12=6$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=3$$