გადაწყვიტეთ {c}{5x-y=27}{-3x+4y=-23}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 5 x - y = 27 } \\ { - 3 x + 4 y = - 23 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=5$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-y=27,-3x+4y=-23$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-y=27$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=y+27$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+27\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე y+27.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{27}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{27+y}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, -3x+4y=-23.

$$-3\left(\frac{1}{5}y+\frac{27}{5}\right)+4y=-23$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{27+y}{5}.

$$-\frac{3}{5}y-\frac{81}{5}+4y=-23$$

მიუმატეთ -\frac{3y}{5} 4y-ს.

$$\frac{17}{5}y-\frac{81}{5}=-23$$

მიუმატეთ \frac{81}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{17}{5}y=-\frac{34}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{17}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=\frac{1}{5}y+\frac{27}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{27}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -2.

$$x=\frac{-2+27}{5}$$

მიუმატეთ \frac{27}{5} -\frac{2}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-y=27,-3x+4y=-23$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 4-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-23\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 27+\frac{1}{17}\left(-23\right)\\\frac{3}{17}\times 27+\frac{5}{17}\left(-23\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=5,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-y=27,-3x+4y=-23$$

იმისათვის, რომ 5x და -3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$-3\times 5x-3\left(-1\right)y=-3\times 27,5\left(-3\right)x+5\times 4y=5\left(-23\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-15x+3y=-81,-15x+20y=-115$$

გამოაკელით -15x+20y=-115 -15x+3y=-81-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-15x+15x+3y-20y=-81+115$$

მიუმატეთ -15x 15x-ს. პირობები -15x და 15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3y-20y=-81+115$$

მიუმატეთ 3y -20y-ს.

$$-17y=-81+115$$

მიუმატეთ -81 115-ს.

$$-17y=34$$

ორივე მხარე გაყავით -17-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: -3x+4y=-23. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-3x+4\left(-2\right)=-23$$

გაამრავლეთ 4-ზე -2.

$$-3x-8=-23$$

მიუმატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=-15$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=-2$$