გადაწყვიტეთ {c}{4x-y=18}{3x+5y=2}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 4 x - y = 18 } \\ { 3 x + 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=4$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x-y=18,3x+5y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x-y=18$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=y+18$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+18\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე y+18.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{9}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y}{4}+\frac{9}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+5y=2.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{9}{2}\right)+5y=2$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{y}{4}+\frac{9}{2}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{27}{2}+5y=2$$

მიუმატეთ \frac{3y}{4} 5y-ს.

$$\frac{23}{4}y+\frac{27}{2}=2$$

გამოაკელით \frac{27}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{23}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=\frac{1}{4}y+\frac{9}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2\right)+\frac{9}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -2.

$$x=\frac{-1+9}{2}$$

მიუმატეთ \frac{9}{2} -\frac{1}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-y=18,3x+5y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{1}{23}\\-\frac{3}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 18+\frac{1}{23}\times 2\\-\frac{3}{23}\times 18+\frac{4}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=4,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-y=18,3x+5y=2$$

იმისათვის, რომ 4x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 18,4\times 3x+4\times 5y=4\times 2$$

გაამარტივეთ.

$$12x-3y=54,12x+20y=8$$

გამოაკელით 12x+20y=8 12x-3y=54-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12x-12x-3y-20y=54-8$$

მიუმატეთ 12x -12x-ს. პირობები 12x და -12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-20y=54-8$$

მიუმატეთ -3y -20y-ს.

$$-23y=54-8$$

მიუმატეთ 54 -8-ს.

$$-23y=46$$

ორივე მხარე გაყავით -23-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: 3x+5y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+5\left(-2\right)=2$$

გაამრავლეთ 5-ზე -2.

$$3x-10=2$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=12$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=-2$$