გადაწყვიტეთ {c}{4x-y=-9}{2x+2y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 4 x - y = - 9 } \\ { 2 x + 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-2$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x-y=-9,2x+2y=-2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x-y=-9$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=y-9$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(y-9\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე y-9.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{9}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-9+y}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+2y=-2.

$$2\left(\frac{1}{4}y-\frac{9}{4}\right)+2y=-2$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{-9+y}{4}.

$$\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}+2y=-2$$

მიუმატეთ \frac{y}{2} 2y-ს.

$$\frac{5}{2}y-\frac{9}{2}=-2$$

მიუმატეთ \frac{9}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{2}y=\frac{5}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=\frac{1}{4}y-\frac{9}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1-9}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{9}{4} \frac{1}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-y=-9,2x+2y=-2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4\times 2-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-2\right)\\-\frac{1}{5}\left(-9\right)+\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-2,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-y=-9,2x+2y=-2$$

იმისათვის, რომ 4x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\left(-9\right),4\times 2x+4\times 2y=4\left(-2\right)$$

გაამარტივეთ.

$$8x-2y=-18,8x+8y=-8$$

გამოაკელით 8x+8y=-8 8x-2y=-18-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x-2y-8y=-18+8$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2y-8y=-18+8$$

მიუმატეთ -2y -8y-ს.

$$-10y=-18+8$$

მიუმატეთ -18 8-ს.

$$-10y=-10$$

ორივე მხარე გაყავით -10-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: 2x+2y=-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+2=-2$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=1$$