გადაწყვიტეთ {c}{4x+y=-18}{-3x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 4 x + y = - 18 } \\ { - 3 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-4$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+y=-18,-3x+y=10$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+y=-18$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-y-18$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-18\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -y-18.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{9}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{4}-\frac{9}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, -3x+y=10.

$$-3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{9}{2}\right)+y=10$$

გაამრავლეთ -3-ზე -\frac{y}{4}-\frac{9}{2}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{27}{2}+y=10$$

მიუმატეთ \frac{3y}{4} y-ს.

$$\frac{7}{4}y+\frac{27}{2}=10$$

გამოაკელით \frac{27}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{7}{4}y=-\frac{7}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{7}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=-\frac{1}{4}y-\frac{9}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-2\right)-\frac{9}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{4}-ზე -2.

$$x=\frac{1-9}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{9}{2} \frac{1}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+y=-18,-3x+y=10$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&1\\-3&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{1}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-18\right)-\frac{1}{7}\times 10\\\frac{3}{7}\left(-18\right)+\frac{4}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-4,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+y=-18,-3x+y=10$$

გამოაკელით -3x+y=10 4x+y=-18-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4x+3x+y-y=-18-10$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4x+3x=-18-10$$

მიუმატეთ 4x 3x-ს.

$$7x=-18-10$$

მიუმატეთ -18 -10-ს.

$$7x=-28$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით x აქ: -3x+y=10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-3\left(-4\right)+y=10$$

გაამრავლეთ -3-ზე -4.

$$12+y=10$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=-2$$