გადაწყვიტეთ {c}{3x-4y=24}{5x+4y=-12}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 3 x - 4 y = 24 } \\ { 5 x + 4 y = - 12 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = -\frac{39}{8} = -4\frac{7}{8} = -4.875$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-4y=24,5x+4y=-12$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-4y=24$$

მიუმატეთ 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=4y+24$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+24\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 24+4y.

$$x=\frac{4}{3}y+8$$

ჩაანაცვლეთ 8+\frac{4y}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 5x+4y=-12.

$$5\left(\frac{4}{3}y+8\right)+4y=-12$$

გაამრავლეთ 5-ზე 8+\frac{4y}{3}.

$$\frac{20}{3}y+40+4y=-12$$

მიუმატეთ \frac{20y}{3} 4y-ს.

$$\frac{32}{3}y+40=-12$$

გამოაკელით 40 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{32}{3}y=-52$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{32}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{39}{8}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{39}{8}-ით y აქ: x=\frac{4}{3}y+8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{39}{8}\right)+8$$

გაამრავლეთ \frac{4}{3}-ზე -\frac{39}{8} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{13}{2}+8$$

მიუმატეთ 8 -\frac{13}{2}-ს.

$$x=\frac{3}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{39}{8}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-4y=24,5x+4y=-12$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}&-\frac{-4}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{32}&\frac{3}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 24+\frac{1}{8}\left(-12\right)\\-\frac{5}{32}\times 24+\frac{3}{32}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{39}{8}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{39}{8}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-4y=24,5x+4y=-12$$

იმისათვის, რომ 3x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$5\times 3x+5\left(-4\right)y=5\times 24,3\times 5x+3\times 4y=3\left(-12\right)$$

გაამარტივეთ.

$$15x-20y=120,15x+12y=-36$$

გამოაკელით 15x+12y=-36 15x-20y=120-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15x-15x-20y-12y=120+36$$

მიუმატეთ 15x -15x-ს. პირობები 15x და -15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-20y-12y=120+36$$

მიუმატეთ -20y -12y-ს.

$$-32y=120+36$$

მიუმატეთ 120 36-ს.

$$-32y=156$$

ორივე მხარე გაყავით -32-ზე.

$$y=-\frac{39}{8}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{39}{8}-ით y აქ: 5x+4y=-12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x+4\left(-\frac{39}{8}\right)=-12$$

გაამრავლეთ 4-ზე -\frac{39}{8}.

$$5x-\frac{39}{2}=-12$$

მიუმატეთ \frac{39}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=\frac{15}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{3}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{39}{8}$$