გადაწყვიტეთ {c}{2x-ky=5}{1/2x+y=4-7/2x}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - k y = 5 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + y = 4 - \frac { 7 } { 2 } x } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)}$$

$$y=-\frac{6}{2k+1}$$

$$k\neq -\frac{1}{2}$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{7}{2}x ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}x=4$$

დააჯგუფეთ \frac{1}{2}x და \frac{7}{2}x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x+y=4$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+\left(-k\right)y=5,4x+y=4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+\left(-k\right)y=5$$

მიუმატეთ ky განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=ky+5$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(ky+5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე ky+5.

$$x=\frac{k}{2}y+\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{ky+5}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+y=4.

$$4\left(\frac{k}{2}y+\frac{5}{2}\right)+y=4$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{ky+5}{2}.

$$2ky+10+y=4$$

მიუმატეთ 2ky y-ს.

$$\left(2k+1\right)y+10=4$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(2k+1\right)y=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 2k+1-ზე.

$$y=-\frac{6}{2k+1}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{6}{2k+1}-ით y აქ: x=\frac{k}{2}y+\frac{5}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{k}{2}\left(-\frac{6}{2k+1}\right)+\frac{5}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{k}{2}-ზე -\frac{6}{2k+1}.

$$x=-\frac{3k}{2k+1}+\frac{5}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} -\frac{3k}{2k+1}-ს.

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)},y=-\frac{6}{2k+1}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{7}{2}x ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}x=4$$

დააჯგუფეთ \frac{1}{2}x და \frac{7}{2}x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x+y=4$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+\left(-k\right)y=5,4x+y=4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-k\right)\times 4}&-\frac{-k}{2-\left(-k\right)\times 4}\\-\frac{4}{2-\left(-k\right)\times 4}&\frac{2}{2-\left(-k\right)\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2\left(2k+1\right)}&\frac{k}{2\left(2k+1\right)}\\-\frac{2}{2k+1}&\frac{1}{2k+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2\left(2k+1\right)}\times 5+\frac{k}{2\left(2k+1\right)}\times 4\\\left(-\frac{2}{2k+1}\right)\times 5+\frac{1}{2k+1}\times 4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)}\\-\frac{6}{2k+1}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)},y=-\frac{6}{2k+1}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{7}{2}x ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}x=4$$

დააჯგუფეთ \frac{1}{2}x და \frac{7}{2}x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x+y=4$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+\left(-k\right)y=5,4x+y=4$$

იმისათვის, რომ 2x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2x+4\left(-k\right)y=4\times 5,2\times 4x+2y=2\times 4$$

გაამარტივეთ.

$$8x+\left(-4k\right)y=20,8x+2y=8$$

გამოაკელით 8x+2y=8 8x+\left(-4k\right)y=20-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x+\left(-4k\right)y-2y=20-8$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\left(-4k\right)y-2y=20-8$$

მიუმატეთ -4ky -2y-ს.

$$\left(-4k-2\right)y=20-8$$

მიუმატეთ 20 -8-ს.

$$\left(-4k-2\right)y=12$$

ორივე მხარე გაყავით -4k-2-ზე.

$$y=-\frac{6}{2k+1}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{6}{1+2k}-ით y აქ: 4x+y=4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x-\frac{6}{2k+1}=4$$

მიუმატეთ \frac{6}{1+2k} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{2\left(4k+5\right)}{2k+1}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)},y=-\frac{6}{2k+1}$$