გადაწყვიტეთ {c}{2x+3y=1}{-x+4y=-28}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 1 } \\ { - x + 4 y = - 28 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=8$$

$$y=-5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+3y=1,-x+4y=-28$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+3y=1$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-3y+1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -3y+1.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+1}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, -x+4y=-28.

$$-\left(-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+4y=-28$$

გაამრავლეთ -1-ზე \frac{-3y+1}{2}.

$$\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}+4y=-28$$

მიუმატეთ \frac{3y}{2} 4y-ს.

$$\frac{11}{2}y-\frac{1}{2}=-28$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{55}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{11}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-5$$

ჩაანაცვლეთ -5-ით y აქ: x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{2}-ზე -5.

$$x=\frac{15+1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} \frac{15}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=8,y=-5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+3y=1,-x+4y=-28$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2\times 4-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 4-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 4-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-28\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}-\frac{3}{11}\left(-28\right)\\\frac{1}{11}+\frac{2}{11}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=8,y=-5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+3y=1,-x+4y=-28$$

იმისათვის, რომ 2x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$-2x-3y=-1,2\left(-1\right)x+2\times 4y=2\left(-28\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-2x-3y=-1,-2x+8y=-56$$

გამოაკელით -2x+8y=-56 -2x-3y=-1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2x+2x-3y-8y=-1+56$$

მიუმატეთ -2x 2x-ს. პირობები -2x და 2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-8y=-1+56$$

მიუმატეთ -3y -8y-ს.

$$-11y=-1+56$$

მიუმატეთ -1 56-ს.

$$-11y=55$$

ორივე მხარე გაყავით -11-ზე.

$$y=-5$$

ჩაანაცვლეთ -5-ით y აქ: -x+4y=-28. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x+4\left(-5\right)=-28$$

გაამრავლეთ 4-ზე -5.

$$-x-20=-28$$

მიუმატეთ 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-8$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=8,y=-5$$