გადაწყვიტეთ {c}{-3(3x-y)=2(y+x)}{-3(2x+y)=2(x-3y)}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 3 ( 3 x - y ) = 2 ( y + x ) } \\ { - 3 ( 2 x + y ) = 2 ( x - 3 y ) } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=0$$

$$y=0$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 3x-y-ზე.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y+x-ზე.

$$-9x+3y=2y+2x$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$-9x+3y-2y=2x$$

დააჯგუფეთ 3y და -2y, რათა მიიღოთ y.

$$-9x+y=2x$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$-9x+y-2x=0$$

დააჯგუფეთ -9x და -2x, რათა მიიღოთ -11x.

$$-11x+y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 2x+y-ზე.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-3y-ზე.

$$-6x-3y=2x-6y$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

დააჯგუფეთ -6x და -2x, რათა მიიღოთ -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

დაამატეთ 6y ორივე მხარეს.

$$-8x-3y+6y=0$$

დააჯგუფეთ -3y და 6y, რათა მიიღოთ 3y.

$$-8x+3y=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-11x+y=0$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-11x=-y$$

ორივე მხარე გაყავით -11-ზე.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-1\right)y$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{11}-ზე -y.

$$x=\frac{1}{11}y$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y}{11}-ით x მეორე განტოლებაში, -8x+3y=0.

$$-8\times \frac{1}{11}y+3y=0$$

გაამრავლეთ -8-ზე \frac{y}{11}.

$$-\frac{8}{11}y+3y=0$$

მიუმატეთ -\frac{8y}{11} 3y-ს.

$$\frac{25}{11}y=0$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{25}{11}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=0$$

ჩაანაცვლეთ 0-ით y აქ: x=\frac{1}{11}y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=0$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 3x-y-ზე.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y+x-ზე.

$$-9x+3y=2y+2x$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$-9x+3y-2y=2x$$

დააჯგუფეთ 3y და -2y, რათა მიიღოთ y.

$$-9x+y=2x$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$-9x+y-2x=0$$

დააჯგუფეთ -9x და -2x, რათა მიიღოთ -11x.

$$-11x+y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 2x+y-ზე.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-3y-ზე.

$$-6x-3y=2x-6y$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

დააჯგუფეთ -6x და -2x, რათა მიიღოთ -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

დაამატეთ 6y ორივე მხარეს.

$$-8x-3y+6y=0$$

დააჯგუფეთ -3y და 6y, რათა მიიღოთ 3y.

$$-8x+3y=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-11\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{11}{-11\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{8}{25}&\frac{11}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=0,y=0$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 3x-y-ზე.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y+x-ზე.

$$-9x+3y=2y+2x$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$-9x+3y-2y=2x$$

დააჯგუფეთ 3y და -2y, რათა მიიღოთ y.

$$-9x+y=2x$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$-9x+y-2x=0$$

დააჯგუფეთ -9x და -2x, რათა მიიღოთ -11x.

$$-11x+y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 2x+y-ზე.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-3y-ზე.

$$-6x-3y=2x-6y$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

დააჯგუფეთ -6x და -2x, რათა მიიღოთ -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

დაამატეთ 6y ორივე მხარეს.

$$-8x-3y+6y=0$$

დააჯგუფეთ -3y და 6y, რათა მიიღოთ 3y.

$$-8x+3y=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

იმისათვის, რომ -11x და -8x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -11-ზე.

$$-8\left(-11\right)x-8y=0,-11\left(-8\right)x-11\times 3y=0$$

გაამარტივეთ.

$$88x-8y=0,88x-33y=0$$

გამოაკელით 88x-33y=0 88x-8y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$88x-88x-8y+33y=0$$

მიუმატეთ 88x -88x-ს. პირობები 88x და -88x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-8y+33y=0$$

მიუმატეთ -8y 33y-ს.

$$25y=0$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$y=0$$

ჩაანაცვლეთ 0-ით y აქ: -8x+3y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-8x=0$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=0$$