გადაწყვიტეთ {c}{-2x-4y=-12}{2x+3y=9}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 2 x - 4 y = - 12 } \\ { 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=0$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-2x-4y=-12,2x+3y=9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-2x-4y=-12$$

მიუმატეთ 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=4y-12$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-\frac{1}{2}\left(4y-12\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -12+4y.

$$x=-2y+6$$

ჩაანაცვლეთ -2y+6-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+3y=9.

$$2\left(-2y+6\right)+3y=9$$

გაამრავლეთ 2-ზე -2y+6.

$$-4y+12+3y=9$$

მიუმატეთ -4y 3y-ს.

$$-y+12=9$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=-3$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=-2y+6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2\times 3+6$$

გაამრავლეთ -2-ზე 3.

$$x=-6+6$$

მიუმატეთ 6 -6-ს.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-2x-4y=-12,2x+3y=9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\left(-12\right)+2\times 9\\-\left(-12\right)-9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=0,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-2x-4y=-12,2x+3y=9$$

იმისათვის, რომ -2x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე.

$$2\left(-2\right)x+2\left(-4\right)y=2\left(-12\right),-2\times 2x-2\times 3y=-2\times 9$$

გაამარტივეთ.

$$-4x-8y=-24,-4x-6y=-18$$

გამოაკელით -4x-6y=-18 -4x-8y=-24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-4x+4x-8y+6y=-24+18$$

მიუმატეთ -4x 4x-ს. პირობები -4x და 4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-8y+6y=-24+18$$

მიუმატეთ -8y 6y-ს.

$$-2y=-24+18$$

მიუმატეთ -24 18-ს.

$$-2y=-6$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: 2x+3y=9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+3\times 3=9$$

გაამრავლეთ 3-ზე 3.

$$2x+9=9$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=0$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=3$$