გადაწყვიტეთ {c}{-2a+2b=2}{3a-2b=2}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 2 a + 2 b = 2 } \\ { 3 a - 2 b = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=4$$

$$b=5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-2a+2b=2$$

გამოაკელით 2b განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2a=-2b+2$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-2b+2\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -2b+2.

$$a=b-1$$

ჩაანაცვლეთ b-1-ით a მეორე განტოლებაში, 3a-2b=2.

$$3\left(b-1\right)-2b=2$$

გაამრავლეთ 3-ზე b-1.

$$3b-3-2b=2$$

მიუმატეთ 3b -2b-ს.

$$b-3=2$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$b=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით b აქ: a=b-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=5-1$$

მიუმატეთ -1 5-ს.

$$a=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=4,b=5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{-2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2+2\\\frac{3}{2}\times 2+2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=4,b=5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

იმისათვის, რომ -2a და 3a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე.

$$3\left(-2\right)a+3\times 2b=3\times 2,-2\times 3a-2\left(-2\right)b=-2\times 2$$

გაამარტივეთ.

$$-6a+6b=6,-6a+4b=-4$$

გამოაკელით -6a+4b=-4 -6a+6b=6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-6a+6a+6b-4b=6+4$$

მიუმატეთ -6a 6a-ს. პირობები -6a და 6a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6b-4b=6+4$$

მიუმატეთ 6b -4b-ს.

$$2b=6+4$$

მიუმატეთ 6 4-ს.

$$2b=10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$b=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით b აქ: 3a-2b=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$3a-2\times 5=2$$

გაამრავლეთ -2-ზე 5.

$$3a-10=2$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3a=12$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$a=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=4,b=5$$