გადაწყვიტეთ ∫ (from 0 to pi) of sqrt{2x^3 wrt x

$$\int_{ 0 }^{ \pi } \sqrt{ 2 { x }^{ 3 } } d x$$

შეფასება

$$\frac{2\sqrt{2}\pi ^{\frac{5}{2}}}{5}\approx 9.89577178$$

ამონახსნის ეტაპები

თავდაპირველად შეაფასეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

$$\int \sqrt{2x^{3}}\mathrm{d}x$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ მუდმივა \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x-ის მეშვეობით.

$$\sqrt{2}\int \sqrt{x^{3}}\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}-ით.

$$\sqrt{2}\times \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{2\sqrt{2}x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

განსაზღვრული ინტეგრალი წარმოადგენს გამოსახულების ანტიდერივატივს, შეფასებულს ინტეგრირების ზედა ზღვარზე, მინუს ანტიდერივატივი, შეფასებული ინტეგრირების ქვედა ზღვარზე.

$$\frac{2}{5}\times 2^{\frac{1}{2}}\pi ^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{5}\times 2^{\frac{1}{2}}\times 0^{\frac{5}{2}}$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{\left(2\pi \right)^{\frac{5}{2}}}{10}$$