გადაწყვიტეთ ∫ (y+3)(3-y)23 wrt y

$$\int{ (y+3)(3-y)23 }d y$$

შეფასება

$$-\frac{23y^{3}}{3}+207y+С$$

ამონახსნის ეტაპები

გამოიყენეთ დისტრიბუტულობის თვისება და გაამრავლეთ y+3-ის თითოეული წევრი 3-y-ის თითოეულ წევრზე.

$$\int \left(3y-y^{2}+9-3y\right)\times 23\mathrm{d}y$$

დააჯგუფეთ 3y და -3y, რათა მიიღოთ 0.

$$\int \left(-y^{2}+9\right)\times 23\mathrm{d}y$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -y^{2}+9 23-ზე.

$$\int -23y^{2}+207\mathrm{d}y$$

მოახდინეთ ჯამური მნიშვნელობის სათითაოდ გაინტეგრალება.

$$\int -23y^{2}\mathrm{d}y+\int 207\mathrm{d}y$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ მუდმივა თითოეულისთვის.

$$-23\int y^{2}\mathrm{d}y+\int 207\mathrm{d}y$$

რადგან\int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int y^{2}\mathrm{d}y უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{y^{3}}{3}-ით. გაამრავლეთ -23-ზე \frac{y^{3}}{3}.

$$-\frac{23y^{3}}{3}+\int 207\mathrm{d}y$$

იპოვეთ207-ის ინტეგრალი, ზოგადი ინტეგრალების ცხრილის გამოყენებით, წესი \int a\mathrm{d}y=ay.

$$-\frac{23y^{3}}{3}+207y$$

თუF\left(y\right) წარმოადგენს f\left(y\right)-ის ანტიდერივატივს, მაშინ f\left(y\right)-ის ყველა ანტიდერივატივის მწკრივი მიღებულია F\left(y\right)+C-ით. მაშასადამე, მიღებულ შედეგს უნდა დაამატოთ ინტეგრაციის მუდმივა C\in \mathrm{R}.

$$-\frac{23y^{3}}{3}+207y+С$$

დიფერენცირება y-ის მიმართ

$$207-23y^{2}$$