გადაწყვიტეთ ∫ left(x^3-1right)^32x wrt x

$$\int{ { \left( { x }^{ 3 } -1 \right) }^{ 3 } 2x }d x$$

შეფასება

$$\frac{2x^{11}}{11}-\frac{3x^{8}}{4}+\frac{6x^{5}}{5}-x^{2}+С$$

ამონახსნის ეტაპები

\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x^{3}-1\right)^{3}-ის გასაშლელად.

$$\int \left(\left(x^{3}\right)^{3}-3\left(x^{3}\right)^{2}+3x^{3}-1\right)\times 2x\mathrm{d}x$$

რიცხვის ხარისხის სხვა ხარისხში ასაყვანად, გადაამრავლეთ ექსპონენტები. გადაამრავლეთ 3 და 3 რომ მიიღოთ 9.

$$\int \left(x^{9}-3\left(x^{3}\right)^{2}+3x^{3}-1\right)\times 2x\mathrm{d}x$$

რიცხვის ხარისხის სხვა ხარისხში ასაყვანად, გადაამრავლეთ ექსპონენტები. გადაამრავლეთ 3 და 2 რომ მიიღოთ 6.

$$\int \left(x^{9}-3x^{6}+3x^{3}-1\right)\times 2x\mathrm{d}x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{9}-3x^{6}+3x^{3}-1 2-ზე.

$$\int \left(2x^{9}-6x^{6}+6x^{3}-2\right)x\mathrm{d}x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x^{9}-6x^{6}+6x^{3}-2 x-ზე.

$$\int 2x^{10}-6x^{7}+6x^{4}-2x\mathrm{d}x$$

მოახდინეთ ჯამური მნიშვნელობის სათითაოდ გაინტეგრალება.

$$\int 2x^{10}\mathrm{d}x+\int -6x^{7}\mathrm{d}x+\int 6x^{4}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ მუდმივა თითოეულისთვის.

$$2\int x^{10}\mathrm{d}x-6\int x^{7}\mathrm{d}x+6\int x^{4}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{10}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{11}}{11}-ით. გაამრავლეთ 2-ზე \frac{x^{11}}{11}.

$$\frac{2x^{11}}{11}-6\int x^{7}\mathrm{d}x+6\int x^{4}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{7}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{8}}{8}-ით. გაამრავლეთ -6-ზე \frac{x^{8}}{8}.

$$\frac{2x^{11}}{11}-\frac{3x^{8}}{4}+6\int x^{4}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{4}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{5}}{5}-ით. გაამრავლეთ 6-ზე \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{2x^{11}}{11}-\frac{3x^{8}}{4}+\frac{6x^{5}}{5}-2\int x\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{2}}{2}-ით. გაამრავლეთ -2-ზე \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{2x^{11}}{11}-\frac{3x^{8}}{4}+\frac{6x^{5}}{5}-x^{2}$$

თუF\left(x\right) წარმოადგენს f\left(x\right)-ის ანტიდერივატივს, მაშინ f\left(x\right)-ის ყველა ანტიდერივატივის მწკრივი მიღებულია F\left(x\right)+C-ით. მაშასადამე, მიღებულ შედეგს უნდა დაამატოთ ინტეგრაციის მუდმივა C\in \mathrm{R}.

$$\frac{2x^{11}}{11}-\frac{3x^{8}}{4}+\frac{6x^{5}}{5}-x^{2}+С$$

დიფერენცირება x-ის მიმართ

$$2x\left(x^{3}-1\right)^{3}$$