გადაწყვიტეთ ∫ t^2(t^3-4)^2dt

$$\int t ^ { 2 } ( t ^ { 3 } - 4 ) ^ { 2 } d t$$

შეფასება

$$\frac{t^{9}}{9}-\frac{4t^{6}}{3}+\frac{16t^{3}}{3}+С$$

ამონახსნის ეტაპები

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(t^{3}-4\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\int t^{2}\left(\left(t^{3}\right)^{2}-8t^{3}+16\right)\mathrm{d}t$$

რიცხვის ხარისხის სხვა ხარისხში ასაყვანად, გადაამრავლეთ ექსპონენტები. გადაამრავლეთ 3 და 2 რომ მიიღოთ 6.

$$\int t^{2}\left(t^{6}-8t^{3}+16\right)\mathrm{d}t$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ t^{2} t^{6}-8t^{3}+16-ზე.

$$\int t^{8}-8t^{5}+16t^{2}\mathrm{d}t$$

მოახდინეთ ჯამური მნიშვნელობის სათითაოდ გაინტეგრალება.

$$\int t^{8}\mathrm{d}t+\int -8t^{5}\mathrm{d}t+\int 16t^{2}\mathrm{d}t$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ მუდმივა თითოეულისთვის.

$$\int t^{8}\mathrm{d}t-8\int t^{5}\mathrm{d}t+16\int t^{2}\mathrm{d}t$$

რადგან\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int t^{8}\mathrm{d}t უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{t^{9}}{9}-ით.

$$\frac{t^{9}}{9}-8\int t^{5}\mathrm{d}t+16\int t^{2}\mathrm{d}t$$

რადგან\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int t^{5}\mathrm{d}t უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{t^{6}}{6}-ით. გაამრავლეთ -8-ზე \frac{t^{6}}{6}.

$$\frac{t^{9}}{9}-\frac{4t^{6}}{3}+16\int t^{2}\mathrm{d}t$$

რადგან\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int t^{2}\mathrm{d}t უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{t^{3}}{3}-ით. გაამრავლეთ 16-ზე \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{9}}{9}-\frac{4t^{6}}{3}+\frac{16t^{3}}{3}$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{16t^{3}}{3}-\frac{4t^{6}}{3}+\frac{t^{9}}{9}$$

თუF\left(t\right) წარმოადგენს f\left(t\right)-ის ანტიდერივატივს, მაშინ f\left(t\right)-ის ყველა ანტიდერივატივის მწკრივი მიღებულია F\left(t\right)+C-ით. მაშასადამე, მიღებულ შედეგს უნდა დაამატოთ ინტეგრაციის მუდმივა C\in \mathrm{R}.

$$\frac{16t^{3}}{3}-\frac{4t^{6}}{3}+\frac{t^{9}}{9}+С$$

დიფერენცირება t-ის მიმართ

$$\left(t\left(t^{3}-4\right)\right)^{2}$$