გადაწყვიტეთ ∫ (from 3 to 4) of [x-(x^2-3x)] wrt x

$$\int _ { 3 } ^ { 4 } [ x - ( x ^ { 2 } - 3 x ) ] d x$$

შეფასება

$$\frac{5}{3}\approx 1.666666667$$

ამონახსნის ეტაპები

x^{2}-3x-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$\int _{3}^{4}x-x^{2}+3x\mathrm{d}x$$

დააჯგუფეთ x და 3x, რათა მიიღოთ 4x.

$$\int _{3}^{4}4x-x^{2}\mathrm{d}x$$

თავდაპირველად შეაფასეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

$$\int 4x-x^{2}\mathrm{d}x$$

მოახდინეთ ჯამური მნიშვნელობის სათითაოდ გაინტეგრალება.

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ მუდმივა თითოეულისთვის.

$$4\int x\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{2}}{2}-ით. გაამრავლეთ 4-ზე \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{2}-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{2}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{3}}{3}-ით. გაამრავლეთ -1-ზე \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{2}-\frac{x^{3}}{3}$$

განსაზღვრული ინტეგრალი წარმოადგენს გამოსახულების ანტიდერივატივს, შეფასებულს ინტეგრირების ზედა ზღვარზე, მინუს ანტიდერივატივი, შეფასებული ინტეგრირების ქვედა ზღვარზე.

$$2\times 4^{2}-\frac{4^{3}}{3}-\left(2\times 3^{2}-\frac{3^{3}}{3}\right)$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{5}{3}$$