გადაწყვიტეთ ∫ (from 1 to 4) of 5sqrt[4]{x wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 4 } 5 \sqrt[ 4 ] { x } d x$$

შეფასება

$$16\sqrt{2}-4\approx 18.627416998$$

ამონახსნის ეტაპები

თავდაპირველად შეაფასეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

$$\int 5\sqrt[4]{x}\mathrm{d}x$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ მუდმივა \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x-ის მეშვეობით.

$$5\int \sqrt[4]{x}\mathrm{d}x$$

ხელახლა დაწერეთ \sqrt[4]{x}, როგორც x^{\frac{1}{4}}. რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{\frac{1}{4}}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}}-ით. გაამარტივეთ. გაამრავლეთ 5-ზე \frac{4x^{\frac{5}{4}}}{5}.

$$4x^{\frac{5}{4}}$$

განსაზღვრული ინტეგრალი წარმოადგენს გამოსახულების ანტიდერივატივს, შეფასებულს ინტეგრირების ზედა ზღვარზე, მინუს ანტიდერივატივი, შეფასებული ინტეგრირების ქვედა ზღვარზე.

$$4\times 4^{\frac{5}{4}}-4\times 1^{\frac{5}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$16\sqrt{2}-4$$