გადაწყვიტეთ ∫ (from 1 to 4) of 5/sqrt[4]{x wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 4 } \frac { 5 } { \sqrt[ 4 ] { x } } d x$$

შეფასება

$$\frac{40\sqrt{2}-20}{3}\approx 12.189514165$$

ამონახსნის ეტაპები

თავდაპირველად შეაფასეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

$$\int \frac{5}{\sqrt[4]{x}}\mathrm{d}x$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ მუდმივა \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x-ის მეშვეობით.

$$5\int \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\mathrm{d}x$$

ხელახლა დაწერეთ \frac{1}{\sqrt[4]{x}}, როგორც x^{-\frac{1}{4}}. რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{-\frac{1}{4}}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4}}-ით. გაამარტივეთ.

$$\frac{20x^{\frac{3}{4}}}{3}$$

განსაზღვრული ინტეგრალი წარმოადგენს გამოსახულების ანტიდერივატივს, შეფასებულს ინტეგრირების ზედა ზღვარზე, მინუს ანტიდერივატივი, შეფასებული ინტეგრირების ქვედა ზღვარზე.

$$\frac{20}{3}\times 4^{\frac{3}{4}}-\frac{20}{3}\times 1^{\frac{3}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{40\sqrt{2}-20}{3}$$