გადაწყვიტეთ ∫ (from 1 to 3) of (x^2+1/x^2+1) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 3 } ( x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + 1 ) d x$$

შეფასება

$$\frac{34}{3}\approx 11.333333333$$

ამონახსნის ეტაპები

თავდაპირველად შეაფასეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

$$\int x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+1\mathrm{d}x$$

მოახდინეთ ჯამური მნიშვნელობის სათითაოდ გაინტეგრალება.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{2}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{3}}{3}-ით.

$$\frac{x^{3}}{3}+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ -\frac{1}{x}-ით.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{x}+\int 1\mathrm{d}x$$

იპოვეთ1-ის ინტეგრალი, ზოგადი ინტეგრალების ცხრილის გამოყენებით, წესი \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{1}{x}+x$$

განსაზღვრული ინტეგრალი წარმოადგენს გამოსახულების ანტიდერივატივს, შეფასებულს ინტეგრირების ზედა ზღვარზე, მინუს ანტიდერივატივი, შეფასებული ინტეგრირების ქვედა ზღვარზე.

$$\frac{3^{3}}{3}-3^{-1}+3-\left(\frac{1^{3}}{3}-1^{-1}+1\right)$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{34}{3}$$