გადაწყვიტეთ ∫ (from 0 to 1) of 2^x+x^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } 2 ^ { x } + x ^ { 2 } d x$$

შეფასება

$$\frac{1}{\ln(2)}+\frac{1}{3}\approx 1.776028374$$

ამონახსნის ეტაპები

თავდაპირველად შეაფასეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

$$\int 2^{x}+x^{2}\mathrm{d}x$$

მოახდინეთ ჯამური მნიშვნელობის სათითაოდ გაინტეგრალება.

$$\int 2^{x}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

პასუხის მისაღებად გამოიყენეთ \int x^{k}\mathrm{d}k=\frac{x^{k}}{\ln(x)}, რომელსაც ზოგადი ინტეგრალების ცხრილში იპოვით.

$$\frac{2^{x}}{\ln(2)}+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{2}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{3}}{3}-ით.

$$\frac{2^{x}}{\ln(2)}+\frac{x^{3}}{3}$$

განსაზღვრული ინტეგრალი წარმოადგენს გამოსახულების ანტიდერივატივს, შეფასებულს ინტეგრირების ზედა ზღვარზე, მინუს ანტიდერივატივი, შეფასებული ინტეგრირების ქვედა ზღვარზე.

$$2^{1}\ln(2)^{-1}+\frac{1^{3}}{3}-\left(2^{0}\ln(2)^{-1}+\frac{0^{3}}{3}\right)$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{\ln(2)}$$