გადაწყვიტეთ ∫ (from 0 to 1) of (1-8v^3+16v^7)dv

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 8 v ^ { 3 } + 16 v ^ { 7 } ) d v$$

შეფასება

$$1$$

ამონახსნის ეტაპები

თავდაპირველად შეაფასეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

$$\int 1-8v^{3}+16v^{7}\mathrm{d}v$$

მოახდინეთ ჯამური მნიშვნელობის სათითაოდ გაინტეგრალება.

$$\int 1\mathrm{d}v+\int -8v^{3}\mathrm{d}v+\int 16v^{7}\mathrm{d}v$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ მუდმივა თითოეულისთვის.

$$\int 1\mathrm{d}v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

იპოვეთ1-ის ინტეგრალი, ზოგადი ინტეგრალების ცხრილის გამოყენებით, წესი \int a\mathrm{d}v=av.

$$v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

რადგან\int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int v^{3}\mathrm{d}v უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{v^{4}}{4}-ით. გაამრავლეთ -8-ზე \frac{v^{4}}{4}.

$$v-2v^{4}+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

რადგან\int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int v^{7}\mathrm{d}v უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{v^{8}}{8}-ით. გაამრავლეთ 16-ზე \frac{v^{8}}{8}.

$$v-2v^{4}+2v^{8}$$

განსაზღვრული ინტეგრალი წარმოადგენს გამოსახულების ანტიდერივატივს, შეფასებულს ინტეგრირების ზედა ზღვარზე, მინუს ანტიდერივატივი, შეფასებული ინტეგრირების ქვედა ზღვარზე.

$$1-2\times 1^{4}+2\times 1^{8}-\left(0-2\times 0^{4}+2\times 0^{8}\right)$$

გაამარტივეთ.

$$1$$