გადაწყვიტეთ ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

შეფასება

$$-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

ამონახსნის ეტაპები

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 1-y y-ზე.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

თავდაპირველად შეაფასეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

მოახდინეთ ჯამური მნიშვნელობის სათითაოდ გაინტეგრალება.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ მუდმივა თითოეულისთვის.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

რადგან\int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int y\mathrm{d}y უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{y^{2}}{2}-ით.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

რადგან\int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int y^{2}\mathrm{d}y უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{y^{3}}{3}-ით. გაამრავლეთ -1-ზე \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

განსაზღვრული ინტეგრალი წარმოადგენს გამოსახულების ანტიდერივატივს, შეფასებულს ინტეგრირების ზედა ზღვარზე, მინუს ანტიდერივატივი, შეფასებული ინტეგრირების ქვედა ზღვარზე.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-\frac{2}{3}$$