გადაწყვიტეთ ∫ _{frac{sqrt{2}}{2}}^1(x^4-1/2x^4) wrt x

$$\int _ { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } ^ { 1 } ( x ^ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 4 } ) d x$$

შეფასება

$$-\frac{\sqrt{2}}{80}+\frac{1}{10}\approx 0.08232233$$

ამონახსნის ეტაპები

თავდაპირველად შეაფასეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

$$\int x^{4}-\frac{x^{4}}{2}\mathrm{d}x$$

მოახდინეთ ჯამური მნიშვნელობის სათითაოდ გაინტეგრალება.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -\frac{x^{4}}{2}\mathrm{d}x$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ მუდმივა თითოეულისთვის.

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-\frac{\int x^{4}\mathrm{d}x}{2}$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{4}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{5}}{5}-ით.

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{\int x^{4}\mathrm{d}x}{2}$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{4}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{5}}{5}-ით. გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{5}}{10}$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{x^{5}}{10}$$

განსაზღვრული ინტეგრალი წარმოადგენს გამოსახულების ანტიდერივატივს, შეფასებულს ინტეგრირების ზედა ზღვარზე, მინუს ანტიდერივატივი, შეფასებული ინტეგრირების ქვედა ზღვარზე.

$$\frac{1^{5}}{10}-\frac{1}{10}\times \left(\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}\right)^{5}$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{1}{10}-\frac{\sqrt{2}}{80}$$