გადაწყვიტეთ ∫ (x-1)^3

$$\int ( x - 1 ) ^ { 3 }$$

შეფასება

$$\frac{\left(x-1\right)^{4}}{4}+С$$

ამონახსნის ეტაპები

\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x-1\right)^{3}-ის გასაშლელად.

$$\int x^{3}-3x^{2}+3x-1\mathrm{d}x$$

მოახდინეთ ჯამური მნიშვნელობის სათითაოდ გაინტეგრალება.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int -3x^{2}\mathrm{d}x+\int 3x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ მუდმივა თითოეულისთვის.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x-3\int x^{2}\mathrm{d}x+3\int x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{3}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{4}}{4}-ით.

$$\frac{x^{4}}{4}-3\int x^{2}\mathrm{d}x+3\int x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{2}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{3}}{3}-ით. გაამრავლეთ -3-ზე \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+3\int x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{2}}{2}-ით. გაამრავლეთ 3-ზე \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+\frac{3x^{2}}{2}+\int -1\mathrm{d}x$$

იპოვეთ-1-ის ინტეგრალი, ზოგადი ინტეგრალების ცხრილის გამოყენებით, წესი \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+\frac{3x^{2}}{2}-x$$

თუF\left(x\right) წარმოადგენს f\left(x\right)-ის ანტიდერივატივს, მაშინ f\left(x\right)-ის ყველა ანტიდერივატივის მწკრივი მიღებულია F\left(x\right)+C-ით. მაშასადამე, მიღებულ შედეგს უნდა დაამატოთ ინტეგრაციის მუდმივა C\in \mathrm{R}.

$$\frac{x^{4}}{4}-x^{3}+\frac{3x^{2}}{2}-x+С$$

დიფერენცირება x-ის მიმართ

$$\left(x-1\right)^{3}$$