გადაწყვიტეთ ∫ (x+1/2)*(x^2+x)^2 wrt x

$$\int ( x + \frac { 1 } { 2 } ) \cdot ( x ^ { 2 } + x ) ^ { 2 } d x$$

შეფასება

$$\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{5}}{2}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+С$$

ამონახსნის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x^{2}+x\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\int \left(x+\frac{1}{2}\right)\left(\left(x^{2}\right)^{2}+2x^{2}x+x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

რიცხვის ხარისხის სხვა ხარისხში ასაყვანად, გადაამრავლეთ ექსპონენტები. გადაამრავლეთ 2 და 2 რომ მიიღოთ 4.

$$\int \left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x^{4}+2x^{2}x+x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

იმავე ფუძის ჯერადი რიცხვების გასამრავლებლად, შეკრიბეთ მათი ექსპონენტები. შეკრიბეთ 2 და 1 რომ მიიღოთ 3.

$$\int \left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x^{4}+2x^{3}+x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+\frac{1}{2} x^{4}+2x^{3}+x^{2}-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$\int x^{5}+\frac{5}{2}x^{4}+2x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}\mathrm{d}x$$

მოახდინეთ ჯამური მნიშვნელობის სათითაოდ გაინტეგრალება.

$$\int x^{5}\mathrm{d}x+\int \frac{5x^{4}}{2}\mathrm{d}x+\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int \frac{x^{2}}{2}\mathrm{d}x$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ მუდმივა თითოეულისთვის.

$$\int x^{5}\mathrm{d}x+\frac{5\int x^{4}\mathrm{d}x}{2}+2\int x^{3}\mathrm{d}x+\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{5}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{6}}{6}-ით.

$$\frac{x^{6}}{6}+\frac{5\int x^{4}\mathrm{d}x}{2}+2\int x^{3}\mathrm{d}x+\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{4}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{5}}{5}-ით. გაამრავლეთ \frac{5}{2}-ზე \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{5}}{2}+2\int x^{3}\mathrm{d}x+\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{3}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{4}}{4}-ით. გაამრავლეთ 2-ზე \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{5}}{2}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{2}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{3}}{3}-ით. გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{5}}{2}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{3}}{6}$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{5}}{2}+\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{3}}{6}$$

თუF\left(x\right) წარმოადგენს f\left(x\right)-ის ანტიდერივატივს, მაშინ f\left(x\right)-ის ყველა ანტიდერივატივის მწკრივი მიღებულია F\left(x\right)+C-ით. მაშასადამე, მიღებულ შედეგს უნდა დაამატოთ ინტეგრაციის მუდმივა C\in \mathrm{R}.

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{5}}{2}+\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{3}}{6}+С$$

დიფერენცირება x-ის მიმართ

$$\frac{\left(2x+1\right)\left(x\left(x+1\right)\right)^{2}}{2}$$