გადაწყვიტეთ ∫ (sqrt{x}-3sqrt[5]{x^2})

$$\int ( \sqrt { x } - 3 \sqrt[ 5 ] { x ^ { 2 } } )$$

შეფასება

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{15x^{\frac{7}{5}}}{7}+С$$

ამონახსნის ეტაპები

მოახდინეთ ჯამური მნიშვნელობის სათითაოდ გაინტეგრალება.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -3x^{\frac{2}{5}}\mathrm{d}x$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ მუდმივა თითოეულისთვის.

$$\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-3\int x^{\frac{2}{5}}\mathrm{d}x$$

ხელახლა დაწერეთ \sqrt{x}, როგორც x^{\frac{1}{2}}. რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-ით. გაამარტივეთ.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-3\int x^{\frac{2}{5}}\mathrm{d}x$$

რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{\frac{2}{5}}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{5x^{\frac{7}{5}}}{7}-ით. გაამრავლეთ -3-ზე \frac{5x^{\frac{7}{5}}}{7}.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{15x^{\frac{7}{5}}}{7}$$

თუF\left(x\right) წარმოადგენს f\left(x\right)-ის ანტიდერივატივს, მაშინ f\left(x\right)-ის ყველა ანტიდერივატივის მწკრივი მიღებულია F\left(x\right)+C-ით. მაშასადამე, მიღებულ შედეგს უნდა დაამატოთ ინტეგრაციის მუდმივა C\in \mathrm{R}.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{15x^{\frac{7}{5}}}{7}+С$$

დიფერენცირება x-ის მიმართ

$$\sqrt{x}-3x^{\frac{2}{5}}$$