გადაწყვიტეთ ∫ [a^2-5a+6/a^2+7a+6:(2a+10/a+1-a-1)+1/a+3]*2a^2+5a-3/2a^2

$$\int [ \frac { a ^ { 2 } - 5 a + 6 } { a ^ { 2 } + 7 a + 6 } : ( \frac { 2 a + 10 } { a + 1 } - a - 1 ) + \frac { 1 } { a + 3 } ] \cdot \frac { 2 a ^ { 2 } + 5 a - 3 } { 2 a ^ { 2 } }$$

შეფასება

$$\frac{8ax-4x}{\left(a+6\right)a^{2}}+С$$

ამონახსნის ეტაპები

გამოსახულებების მიმატებისთვის ან გამოკლებისთვის, დაშალეთ ისინი, რათა გახადოთ მათი მნიშვნელი ერთნაირი. გაამრავლეთ -a-1-ზე \frac{a+1}{a+1}.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10}{a+1}+\frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

რადგან \frac{2a+10}{a+1}-სა და \frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}-ს აქვს იგივე მნიშვნელი, შეკრიბეთ მათი მრიცხველები.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

შეასრულეთ გამრავლება 2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right)-ში.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10-a^{2}-a-a-1}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

მსგავსი წევრების გაერთიანება 2a+10-a^{2}-a-a-1-ში.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{9-a^{2}}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

გაყავით \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} \frac{9-a^{2}}{a+1}-ზე \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}-ის გამრავლებით \frac{9-a^{2}}{a+1}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$\int \left(\frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

აღრიცხეთ ყველა გამოსახულება, რომლიც ჯერ არ არის აღრიცხული \frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}-ში.

$$\int \left(\frac{\left(a-3\right)\left(a-2\right)\left(a+1\right)}{\left(a-3\right)\left(-a-3\right)\left(a+1\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

გააბათილეთ \left(a-3\right)\left(a+1\right) როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში.

$$\int \left(\frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

გამოსახულებების მიმატებისთვის ან გამოკლებისთვის, დაშალეთ ისინი, რათა გახადოთ მათი მნიშვნელი ერთნაირი. \left(-a-3\right)\left(a+6\right)-ისა და a+3-ის უმცირესი საერთო მამრავლი არის \left(a+3\right)\left(a+6\right). გაამრავლეთ \frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)}-ზე \frac{-1}{-1}. გაამრავლეთ \frac{1}{a+3}-ზე \frac{a+6}{a+6}.

$$\int \left(\frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}+\frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

რადგან \frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}-სა და \frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}-ს აქვს იგივე მნიშვნელი, შეკრიბეთ მათი მრიცხველები.

$$\int \frac{-\left(a-2\right)+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

შეასრულეთ გამრავლება -\left(a-2\right)+a+6-ში.

$$\int \frac{-a+2+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

მსგავსი წევრების გაერთიანება -a+2+a+6-ში.

$$\int \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

გაამრავლეთ \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}-ზე \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}-ჯერ მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით.

$$\int \frac{8\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)\times 2a^{2}}\mathrm{d}x$$

გააბათილეთ 2 როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში.

$$\int \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

აღრიცხეთ ყველა გამოსახულება, რომლიც ჯერ არ არის აღრიცხული \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}-ში.

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)\left(a+3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

გააბათილეთ a+3 როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში.

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 2a-1-ზე.

$$\int \frac{8a-4}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ a+6 a^{2}-ზე.

$$\int \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}\mathrm{d}x$$

იპოვეთ\frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}-ის ინტეგრალი, ზოგადი ინტეგრალების ცხრილის გამოყენებით, წესი \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}x$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}$$

თუF\left(x\right) წარმოადგენს f\left(x\right)-ის ანტიდერივატივს, მაშინ f\left(x\right)-ის ყველა ანტიდერივატივის მწკრივი მიღებულია F\left(x\right)+C-ით. მაშასადამე, მიღებულ შედეგს უნდა დაამატოთ ინტეგრაციის მუდმივა C\in \mathrm{R}.

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}+С$$

დიფერენცირება x-ის მიმართ

$$\frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}$$