გადაწყვიტეთ d/dxleft(sin(x)right)

$$\frac{d}{d x } \left( \sin ( x ) \right)$$

შეფასება

$$\cos(x)$$

ეტაპები დერივატივის განსაზღვრების გამოყენებით

ფუნქციისთვის f\left(x\right), დერივატივი არის \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}-ის ზღვარი, რადგან h გადადის 0-ში, თუ ზღვარი არსებობს.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

გამოიყენეთ ჯამის ფორმულა სინუსისთვის.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ \sin(x).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

გადაწერეთ ზღვარი.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

გამოიყენეთ ის ფაქტი, რომ x არის კონსტანტა ზღვრების გამოთვლისას, რადგან h გადადის 0-ში.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

ზღვრული \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} არის 1.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

ზღვრული \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}-ის შეფასებისთვის, ჯერ გაამრავლეთ მრიცხველი და მნიშვნელი \cos(h)+1-ზე.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

გაამრავლეთ \cos(h)+1-ზე \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

გამოიყენეთ პითაგორას იგივეობა.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

გადაწერეთ ზღვარი.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

ზღვრული \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} არის 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

გამოიყენეთ ის ფაქტი, რომ \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} მუდმივია 0-ისას.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობა 0 განტოლებაში \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).

$$\cos(x)$$

დიფერენცირება x-ის მიმართ

$$-\sin(x)$$